If f: ℝ → ℝ is defined by f(x) = x² + 1 for x ≤ −1 and f(x) = 2 − x for x > −1, what is f(−1)?यदि f: ℝ → ℝ को f(x) = x² + 1, जब x ≤ −1, और f(x) = 2 − x, जब x > −1 द्वारा परिभाषित किया गया है, तो f(−1) क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 22
The governing concept is evaluation of a piecewise-defined function at a boundary point. The input is x = −1. The first rule applies for x ≤ −1, whereas the second rule applies only for x > −1. Since −1 satisfies the first condition, we must use f(x) = x² + 1. Therefore f(−1) = (−1)² + 1 = 1 + 1 = 2. Although the second formula would produce 2 − (−1) = 3, that formula is not permitted at x = −1 because its condition is strict. A function assigns one value to each input in its domain, so the answer is neither two values nor undefined. Thus option A is correct.मुख्य अवधारणा खंडित रूप से परिभाषित फलन में सीमा-बिंदु पर मान निकालना है। यहाँ इनपुट x = −1 है। पहला नियम x ≤ −1 के लिए लागू है, जबकि दूसरा नियम केवल x > −1 के लिए लागू होता है। चूँकि −1 ≤ −1 सत्य है, इसलिए पहले नियम f(x) = x² + 1 का प्रयोग करना होगा। अतः f(−1) = (−1)² + 1 = 1 + 1 = 2। दूसरे सूत्र से 2 − (−1) = 3 प्राप्त होता, लेकिन x = −1 पर वह सूत्र लागू नहीं है, क्योंकि उसकी शर्त में सख्त असमानता x > −1 दी गई है। फलन अपने प्रत्येक परिभाषित इनपुट को केवल एक मान देता है, इसलिए उत्तर दो मान या अपरिभाषित नहीं हो सकता। सही विकल्प A है।
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