If A = {r, s, t, u} and B = {1, 2, 3, 4}, how many functions from A to B have range exactly {1, 3, 4}?यदि A = {r, s, t, u} और B = {1, 2, 3, 4} हैं, तो A से B में ऐसे कितने फलन हैं जिनका परिसर ठीक {1, 3, 4} है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 3636
A function from A to B assigns one image in B to each of the four elements of A. Since the range must be exactly {1, 3, 4}, the value 2 cannot be used, while each of 1, 3, and 4 must occur at least once. First count all assignments using only these three values: 3^4 = 81. Subtract assignments omitting one specified value: for each value there are 2^4 assignments, giving 3 × 16 = 48. Add back the three assignments that use only one value, because they were subtracted twice. Thus the required number is 81 − 48 + 3 = 36. Therefore option C is correct; 24 does not account for all valid surjections, 64 counts a different unrestricted situation, and 18 is too small.A से B का प्रत्येक फलन, A के चारों तत्वों को B में एक-एक मान देता है। परिसर ठीक {1, 3, 4} होने का अर्थ है कि 2 का प्रयोग नहीं होगा और 1, 3 तथा 4 प्रत्येक कम-से-कम एक बार अवश्य आएँगे। केवल इन तीन मानों से सभी फलनों की संख्या 3^4 = 81 है। इनमें से किसी एक निश्चित मान को छोड़ देने वाले फलनों की संख्या 2^4 = 16 है; ऐसे तीन मानों के लिए 3 × 16 = 48 घटाएँ। अब केवल एक ही मान प्रयोग करने वाले 3 फलन दो बार घट गए थे, इसलिए उन्हें वापस जोड़ना होगा। अतः संख्या 81 − 48 + 3 = 36 है। इसलिए विकल्प C सही है; 24, 64 और 18 में या तो आवश्यक सभी मानों की शर्त पूरी तरह नहीं गिनी गई है या गणना का क्षेत्र गलत लिया गया है।
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