If A = {1, 2} and B = {a, b, c}, how many subsets of A × B are not functions from A to B?यदि A = {1, 2} और B = {a, b, c} हों, तो A × B के कितने उपसमुच्चय A से B में फलन नहीं हैं?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 5555
The Cartesian product A × B contains |A||B| = 2 × 3 = 6 ordered pairs. Therefore it has 2⁶ = 64 subsets in total. A function from A to B must contain exactly one ordered pair beginning with each element of A. For each of the two inputs, there are three possible outputs, so the number of functions is 3² = 9. Every such function is a subset of A × B, and all remaining subsets fail the function condition because an input is missing, has multiple outputs, or both. Hence the number of non-function subsets is 64 − 9 = 55. Option D is the total number of subsets, not the requested number.A × B में क्रमित युग्मों की संख्या |A||B| = 2 × 3 = 6 है। इसलिए इसके सभी उपसमुच्चयों की संख्या 2⁶ = 64 होगी। A से B में किसी फलन के लिए A के प्रत्येक इनपुट से शुरू होने वाला ठीक एक क्रमित युग्म चुना जाना चाहिए। पहले इनपुट के लिए 3 और दूसरे इनपुट के लिए 3 विकल्प हैं, इसलिए फलनों की संख्या 3² = 9 है। ये 9 फलन A × B के उपसमुच्चय हैं। शेष उपसमुच्चयों में किसी इनपुट की कोई छवि नहीं होगी, या एक से अधिक छवियाँ होंगी, इसलिए वे फलन नहीं होंगे। अतः गैर-फलन उपसमुच्चयों की संख्या 64 − 9 = 55 है। विकल्प D केवल कुल उपसमुच्चय बताता है।
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