If f: {0, 1, 2, 3} → {0, 1, 2, 3} is given by f(x) = x² − 2x + 1, is f a valid function?यदि f: {0, 1, 2, 3} → {0, 1, 2, 3} को f(x) = x² − 2x + 1 से परिभाषित किया गया है, तो क्या f वैध फलन है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: No, because f(3) = 4 is not in {0, 1, 2, 3}नहीं, क्योंकि f(3) = 4, {0, 1, 2, 3} में नहीं है
For f:A→B to be a valid function, every element of A must have exactly one image and each image must belong to the codomain B. The polynomial rule is single-valued, so calculate its outputs and check the codomain. We get f(0)=0−0+1=1, f(1)=1−2+1=0, f(2)=4−4+1=1, and f(3)=9−6+1=4. Although each input has one numerical output, 4 is not in the stated codomain {0,1,2,3}. Therefore this rule does not define a function from the given A to the given B, and option B is correct. Option C is not an issue because 0 belongs to B; option D ignores the essential codomain requirement.f:A→B को वैध फलन होने के लिए A के प्रत्येक अवयव की ठीक एक छवि होनी चाहिए और हर छवि सहप्रांत B में स्थित होनी चाहिए। बहुपद का नियम प्रत्येक इनपुट के लिए एक निश्चित मान देता है, लेकिन सहप्रांत की जाँच फिर भी आवश्यक है। मान निकालने पर f(0)=0−0+1=1, f(1)=1−2+1=0, f(2)=4−4+1=1 तथा f(3)=9−6+1=4 मिलता है। प्रत्येक इनपुट की एक छवि तो है, परंतु 4 दिए गए सहप्रांत {0,1,2,3} में नहीं है। इसलिए यह A से B में वैध फलन नहीं है और विकल्प B सही है। विकल्प C गलत है, क्योंकि 0 सहप्रांत में मौजूद है। विकल्प D भी गलत है; किसी बहुपद का होना पर्याप्त नहीं, उसके मानों का सहप्रांत में होना भी आवश्यक है।
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