If (A={u,v,w,x,y}) and (B={1,2,3,4}), how many functions from (A) to (B) have range exactly ({2,4})?यदि (A={u,v,w,x,y}) और (B={1,2,3,4}) हों, तो (A) से (B) में ऐसे कितने फलन हैं जिनका परिसर ठीक ({2,4}) हो?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (30)(30)
A function from A to B assigns one allowed value to each of the five elements of A. Since the range must be exactly {2,4}, every output must be either 2 or 4, and both values must actually occur. If we temporarily allow only 2 and 4, each of the five inputs has two choices, giving 2^5=32 functions. However, two of these functions are not acceptable: the constant function with value 2 and the constant function with value 4. Each misses one required range value.
Thus the required number is 2^5−2=32−2=30. Option B is correct. The value 16 would arise from a different counting situation, while 32 fails to remove the two constant functions. The answer correctly uses the condition that the range is exactly {2,4}, not merely a subset of it.A के पाँचों तत्वों को B में मान देना है। परिसर ठीक {2,4} हो, इसलिए प्रत्येक मान केवल 2 या 4 हो सकता है और दोनों मान कम-से-कम एक बार अवश्य आने चाहिए। यदि पहले केवल 2 और 4 चुनने की अनुमति दें, तो पाँचों इनपुटों के लिए कुल विकल्पों की संख्या 2^5=32 होगी। इनमें दो फलन अनुपयुक्त हैं: एक में हर जगह 2 आता है और दूसरे में हर जगह 4।
इन दोनों को हटाने पर संख्या 2^5−2=32−2=30 मिलती है। इसलिए विकल्प B सही है। 32 में दोनों स्थिर फलन भी गिने गए होते, इसलिए वह उत्तर नहीं हो सकता। यह गणना इस बात को ध्यान में रखती है कि परिसर केवल {2,4} का उपसमुच्चय नहीं, बल्कि ठीक {2,4} होना चाहिए।
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