If (f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}) is given by (f(x)=\sqrt{x^2-6x+10}), what is the range?यदि (f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}) को (f(x)=\sqrt{x^2-6x+10}) से दिया गया है तो परिसर क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: ([1,\infty))([1,\infty))
The expression under the square root can be rewritten by completing the square: \\(x^2-6x+10=(x-3)^2+1\\). Since a square is always non-negative, \\((x-3)^2\\ge0\\), so the quantity inside the root is always at least 1. It reaches 1 when \\(x=3\\). Therefore, the smallest value of the function is \\(\\sqrt1=1\\).
As x moves away from 3 in either direction, \\((x-3)^2\\) increases, so the square-root value can become arbitrarily large. Every value from 1 onward is obtained, because for any \\(y\\ge1\\), the equation \\(y=\\sqrt{(x-3)^2+1}\\) can be satisfied by a suitable real x. Hence the range is \\([1,\\infty)\\), so option A is correct. The range is not \\([0,\\infty)\\), because values below 1 cannot occur.वर्गमूल के अंदर के व्यंजक को पूर्ण वर्ग बनाकर लिखते हैं: \\(x^2-6x+10=(x-3)^2+1\\)। किसी भी वास्तविक x के लिए \\((x-3)^2\\ge0\\) होता है, इसलिए अंदर का मान हमेशा कम से कम 1 होगा। यह न्यूनतम मान तब मिलता है जब \\(x=3\\)। अतः फलन का न्यूनतम मान \\(\\sqrt1=1\\) है।
x का मान 3 से दोनों दिशाओं में दूर जाने पर \\((x-3)^2\\) बढ़ता है और वर्गमूल का मान बिना ऊपरी सीमा के बढ़ सकता है। 1 से आगे का प्रत्येक मान प्राप्त किया जा सकता है, क्योंकि प्रत्येक \\(y\\ge1\\) के लिए उपयुक्त वास्तविक x चुना जा सकता है। इसलिए परिसर \\([1,\\infty)\\) है और विकल्प A सही है। \\([0,\\infty)\\) सही नहीं है, क्योंकि 1 से छोटे मान इस फलन से प्राप्त नहीं हो सकते।
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