If (f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}) is given by (f(x)=\frac{1}{|x|-2}), what should be the correct domain?यदि (f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}) को (f(x)=\frac{1}{|x|-2}) से दिया जाए तो सही प्रांत क्या होना चाहिए?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (\mathbb{R}-{-2,2})(\mathbb{R}-{-2,2})
The direct answer is A: the domain is R minus {-2,2}. A rational expression is defined only when its denominator is not zero. Here the denominator is |x|-2. Set it equal to zero: |x|-2=0, so |x|=2. The real solutions are x=2 and x=-2. These two inputs must be excluded, while every other real number is allowed. Hence the domain is R\{-2,2}. Option A is correct. Option B removes only 2 and forgets -2; at x=-2, the denominator is also zero. Option C removes 0, but x=0 gives denominator -2, which is perfectly valid. Option D includes only numbers less than 2, unnecessarily excluding many valid numbers such as 3 and -5, and it does not properly express the full domain. The common mistake is checking only |x|=2 as if x=2 were the sole answer; modulus always requires both signs.सीधा उत्तर A है: domain है R\{-2,2}। भिन्न वाला expression तभी defined होता है जब denominator शून्य न हो। यहां denominator |x|-2 है। इसे शून्य रखें: |x|-2=0, इसलिए |x|=2। मापांक का अर्थ है x=2 या x=-2। इन दोनों values पर denominator शून्य होगा, इसलिए इन्हें हटाना पड़ेगा। इनके अलावा हर real number allowed है। इस कारण A सही है। B केवल 2 हटाता है और -2 भूल जाता है; x=-2 पर भी denominator शून्य है। C में 0 हटाया गया है, जबकि x=0 पर denominator -2 आता है और expression defined है। D केवल 2 से छोटे numbers लेता है, इसलिए 3 और कई अन्य valid real numbers को बिना कारण निकाल देता है। मुख्य सावधानी यह है कि |x|=2 को केवल x=2 न मानें; मापांक में दोनों signs, यानी 2 और -2, जाँचने होते हैं।
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