If f: Z → Z is given by f(n) = (n² + n)/2, which statement is correct?यदि f: Z → Z को f(n) = (n² + n)/2 से दिया गया है, तो सही कथन कौन सा है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: It is a function because n(n + 1) is always evenIt is a function because n(n + 1) is always even
A function from Z to Z must assign exactly one integer output to every integer input. The expression can be written as f(n) = n(n + 1)/2. Among any two consecutive integers n and n + 1, one is even, so their product is divisible by 2. Consequently, n(n + 1)/2 is an integer for every n in Z, including negative integers and zero. The rule is therefore defined for every domain element and its value lies in the stated codomain, so it is a valid function. Option B gives this reason. A fraction symbol does not automatically mean a non-integer result; for n = 1 the value is 1. Also, f(0) = 0 is perfectly allowed, and there is no restriction to positive inputs.Z से Z में फलन के लिए प्रत्येक पूर्णांक इनपुट का ठीक एक पूर्णांक आउटपुट होना चाहिए। यहाँ f(n) = n(n + 1)/2 लिखा जा सकता है। लगातार दो पूर्णांकों n और n + 1 में कम-से-कम एक संख्या सम होती है, इसलिए उनका गुणनफल 2 से विभाज्य होता है। इस कारण n(n + 1)/2 प्रत्येक पूर्णांक n के लिए पूर्णांक ही रहता है; यह बात ऋणात्मक पूर्णांकों और शून्य पर भी लागू होती है। अतः नियम पूरे प्रांत Z पर परिभाषित है और उसका हर मान सहप्रांत Z में आता है। इसलिए विकल्प B सही है। भिन्न का चिन्ह दिखना यह सिद्ध नहीं करता कि परिणाम भिन्न होगा; उदाहरण के लिए n = 1 पर मान 1 आता है। f(0) = 0 होना भी पूरी तरह स्वीकार्य है और n > 0 की कोई आवश्यकता नहीं है।
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