If f: A → B has |A| = 5 and |B| = 2, the number of all relations is 2¹⁰. How many of these are functions?यदि f: A → B में |A| = 5 और |B| = 2 हों तथा सभी संबंधों की संख्या 2¹⁰ हो, तो इनमें से कितने संबंध फलन हैं?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 3232
The counting principle is different for arbitrary relations and functions. A relation from A to B is any subset of A×B, so with 5×2=10 ordered pairs there are 2¹⁰ relations. For a function, however, each of the 5 elements of A must independently choose exactly one of the 2 elements of B as its image. By the multiplication principle, the number of functions is 2×2×2×2×2 = 2⁵ = 32. Therefore option C is correct. Option D is the number of all relations, not functions; option A and option B do not follow from the function-counting formula. The fact that several domain elements may select the same codomain element does not reduce this count.मनमाने संबंधों और फलनों की गणना के सूत्र अलग होते हैं। A से B का प्रत्येक संबंध A×B का कोई उपसमुच्चय होता है। यहाँ |A×B| = 5×2 = 10 है, इसलिए सभी संबंधों की संख्या 2¹⁰ होती है। फलन के लिए A के प्रत्येक 5 तत्व को B के 2 तत्वों में से ठीक एक छवि चुननी होती है। गुणन सिद्धांत से फलनों की संख्या 2×2×2×2×2 = 2⁵ = 32 होगी। अतः विकल्प C सही है। विकल्प D सभी संबंधों की संख्या 2¹⁰ बताता है, फलनों की नहीं। विकल्प A और B के लिए कोई उपयुक्त गणना-सूत्र नहीं है। अनेक इनपुटों की समान छवि हो सकती है, इसलिए ऐसी पुनरावृत्ति फलनों की संख्या घटाती नहीं है।
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