Let f:{1,2,3}→{2,3,4}, f(x)=x+1, and g:{1,2,3}→{2,3,4,5}, g(x)=x+1. Are f and g equal functions?मान लीजिए f:{1,2,3}→{2,3,4}, f(x)=x+1 तथा g:{1,2,3}→{2,3,4,5}, g(x)=x+1 हैं। क्या f और g समान फलन हैं?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: No, because the codomains are differentNo, because the codomains are different
Two functions are equal only when their domains, codomains, and corresponding output values are all the same. Equality cannot be decided from the displayed formula alone. Both functions here have the same domain, {1,2,3}, and the same rule, x+1. Their actual values are f(1)=g(1)=2, f(2)=g(2)=3, and f(3)=g(3)=4, so their ranges are both {2,3,4}. Nevertheless, f has codomain {2,3,4}, whereas g has codomain {2,3,4,5}. Since the codomains differ, the functions themselves are different even though the formula and range agree. Therefore option B is correct. Option A overlooks the role of the codomain, option C confuses range with codomain, and option D is false because the domains are identical.दो फलन तभी समान माने जाते हैं जब उनके प्रांत, सहप्रांत और प्रत्येक इनपुट के लिए प्राप्त संगत मान समान हों। केवल सूत्र समान होना पर्याप्त नहीं है। यहाँ दोनों फलनों का प्रांत {1,2,3} और नियम x+1 है। इसलिए दोनों में 1 का मान 2, 2 का मान 3 और 3 का मान 4 आता है; इस कारण दोनों का परास {2,3,4} है। फिर भी f का सहप्रांत {2,3,4} है, जबकि g का सहप्रांत {2,3,4,5} है। सहप्रांत अलग होने के कारण फलन समान नहीं हो सकते। अतः विकल्प B सही है। विकल्प A केवल सूत्र देखकर निष्कर्ष निकालता है, विकल्प C परास और सहप्रांत को एक समझता है, जबकि विकल्प D गलत है क्योंकि दोनों के प्रांत वास्तव में समान हैं।
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