If f:R → R is defined by f(x) = 1/x, which reason prevents it from being a function on all of R?यदि f:R → R को f(x) = 1/x से परिभाषित किया जाए, तो कौन-सा कारण इसे पूरे R पर फलन बनने से रोकता है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 1/x is not defined at x = 0x = 0 पर 1/x परिभाषित नहीं है
For a mapping f:A→B to be a function, every element of the stated domain A must have exactly one image in B. Here the claimed domain is all real numbers, but the rule f(x)=1/x contains division by x. Division by zero is undefined, so f(0)=1/0 has no real value. Consequently, the rule cannot define a function on all of R; its natural real domain is R extbackslash{0}. For every nonzero real x, the rule gives exactly one real output, so there is no problem at x=1 or x=−1. Option D is also false because no nonzero input has two images. Therefore option A correctly identifies the exceptional domain value and the precise reason the proposed mapping fails.किसी मानचित्रण f:A→B के फलन होने के लिए प्रांत A के प्रत्येक तत्व की सह-प्रांत में ठीक एक छवि होनी चाहिए। यहाँ प्रांत सभी वास्तविक संख्याएँ R दिया गया है, जबकि नियम f(x)=1/x में x से भाग दिया जाता है। शून्य से भाग देना परिभाषित नहीं है, इसलिए f(0)=1/0 का कोई वास्तविक मान नहीं होता। इस कारण यह नियम पूरे R पर फलन नहीं बन सकता; इसका स्वाभाविक वास्तविक प्रांत R extbackslash{0} है। प्रत्येक अशून्य वास्तविक x के लिए 1/x का ठीक एक वास्तविक मान मिलता है। x=1 और x=−1 पर क्रमशः 1 और −1 मिलना कोई बाधा नहीं है। किसी x की दो छवियाँ भी नहीं हैं। अतः विकल्प A सही कारण बताता है।
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