If (R\subseteq A\times B) and some element of (A) is not related to any element, why will (R) not be a function?यदि (R\subseteq A\times B) है और (A) का कोई तत्व किसी भी तत्व से नहीं जुड़ा है तो (R) फलन क्यों नहीं होगा?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: Because every (x\in A) must have an imageक्योंकि हर (x\in A) का प्रतिबिंब होना चाहिए
A function is a relation with a complete domain assignment. This means that every member of the domain set A must be connected to one and only one member of the codomain set B. The word “every” is essential: a function cannot leave even one input without an output. Therefore, if some element of A is not related to any element of B, the relation fails the basic existence requirement for a function. It may still be a relation, but it is not a function from A to B.
Option A is correct because every x in A must have an image under the function. It is not necessary that every y in B have an image; that condition would concern surjectivity, not the definition of a function. The other choices do not state the defining requirement. Hence the supplied answer is correct.फलन ऐसा संबंध है जिसमें प्रांत के प्रत्येक तत्व को सहप्रांत के ठीक एक तत्व से जोड़ा जाता है। यहाँ “प्रत्येक” शब्द बहुत महत्वपूर्ण है। यदि समुच्चय A का कोई एक तत्व भी B के किसी तत्व से जुड़ा नहीं है, तो उस इनपुट का कोई आउटपुट नहीं है। इसलिए संबंध, A से B में फलन नहीं कहलाएगा। वह संबंध हो सकता है, पर फलन की मूल शर्त पूरी नहीं करता।
विकल्प A सही है, क्योंकि A के हर x का एक प्रतिबिंब होना आवश्यक है। B के हर y का प्रतिबिंब होना आवश्यक नहीं है; यह तो सर्वांगीणता या onto होने से जुड़ी शर्त होती। बाकी विकल्प फलन की परिभाषा नहीं बताते। इसलिए दिया गया उत्तर सही है।
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