What is the area of the solution region (x\geq 0), (y\geq 0), (x+2y\leq 12), and (2x+y\leq 12)?हल-क्षेत्र (x\geq 0), (y\geq 0), (x+2y\leq 12), (2x+y\leq 12) का क्षेत्रफल कितना है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (24) square units(24) वर्ग इकाई
The direct answer is option C, 24 square units. The feasible region lies in the first quadrant. On the x-axis, y=0 gives 2x≤12, so the x-intercept is (6,0). On the y-axis, x=0 gives 2y≤12, so the y-intercept is (0,6). The two boundary lines intersect by solving x+2y=12 and 2x+y=12; subtracting gives x-y=0, so x=y, and then 3x=12 gives (4,4). The vertices are (0,0), (6,0), (4,4), and (0,6). Split the shape into two right triangles: the triangle with vertices (0,0),(6,0),(4,4) has area 12, and the triangle with vertices (0,0),(4,4),(0,6) also has area 12; total area is 24. Option A, 18, and option B, 20, are too small. Option C, 24, matches the calculated area. Option D, 30, overestimates the region. Include the boundary because the inequalities are non-strict.सीधा उत्तर विकल्प C, 24 वर्ग इकाई है। हल-क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में है। x-अक्ष पर y=0 रखने से 2x≤12, इसलिए x-अवरोध (6,0) है। y-अक्ष पर x=0 रखने से 2y≤12, इसलिए y-अवरोध (0,6) है। दोनों सीमा रेखाओं का प्रतिच्छेद x+2y=12 और 2x+y=12 को हल करके मिलता है। घटाने पर x-y=0, इसलिए x=y; फिर 3x=12 से x=y=4 मिलता है, अर्थात (4,4)। शीर्ष हैं (0,0), (6,0), (4,4), (0,6)। आकृति को दो त्रिभुजों में बाँटें: (0,0),(6,0),(4,4) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल 12 है और (0,0),(4,4),(0,6) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल भी 12 है। कुल क्षेत्रफल 12+12=24 वर्ग इकाई। विकल्प A, 18, और B, 20, छोटे हैं। विकल्प C, 24, सही गणना से मिलता है। विकल्प D, 30, क्षेत्र को अधिक गिनता है। ≤ वाली शर्तों में सीमा रेखाएँ भी क्षेत्र का भाग होती हैं।
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