How many points with integer coordinates are in the region (x≥0), (y≥0), (x+y≤4)?हल-क्षेत्र (x≥0), (y≥0), (x+y≤4) में पूर्णांक निर्देशांक वाले कितने बिंदु हैं?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (15)(15)
The inequalities x≥0 and y≥0 restrict the points to the first quadrant, including the axes. For each integer x from 0 through 4, the condition x+y≤4 gives y=0 through 4-x. Thus the numbers of possible integer y-values are 5 when x=0, 4 when x=1, 3 when x=2, 2 when x=3, and 1 when x=4. Adding them gives 5+4+3+2+1=15. Equivalently, these points form a triangular lattice under x+y=4, including all boundary points. Therefore option B is correct. Counting only interior points or excluding the axes would produce smaller, incorrect totals.x≥0 और y≥0 की शर्तें बिंदुओं को प्रथम चतुर्थांश में रखती हैं और दोनों अक्षों के बिंदुओं को भी शामिल करती हैं। अब x के पूर्णांक मान 0 से 4 तक लें। प्रत्येक x के लिए x+y≤4 से y≤4-x मिलता है, इसलिए y के मान 0 से 4-x तक होंगे। क्रमशः x=0,1,2,3,4 के लिए y के संभावित मानों की संख्या 5,4,3,2,1 है। इनका योग 5+4+3+2+1=15 होता है। इसलिए पूर्णांक निर्देशांक वाले कुल 15 बिंदु हैं और विकल्प B सही है। सीमा रेखा x+y=4 तथा अक्षों पर स्थित बिंदु भी शामिल हैं, क्योंकि सभी असमानताएँ गैर-कठोर हैं। केवल अंदर के बिंदु गिनना या अक्षों को हटाना गलत कम संख्या देगा।
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