What are the vertices of the solution region of x ≥ 1, y ≥ 0, x + 2y ≤ 7, and 2x + y ≤ 8?असमानताओं x ≥ 1, y ≥ 0, x + 2y ≤ 7 और 2x + y ≤ 8 के हल-क्षेत्र के शीर्ष कौन-से हैं?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (1, 0), (4, 0), (3, 2), (1, 3)(1, 0), (4, 0), (3, 2), (1, 3)
The governing concept is the graphical solution of simultaneous linear inequalities: the feasible region is the common part of all four half-planes, and its vertices occur at boundary intersections that satisfy every inequality. On y = 0, the restrictions give x ≥ 1, x ≤ 7, and x ≤ 4, so the relevant endpoints are (1, 0) and (4, 0). The two slanting boundaries intersect by solving x + 2y = 7 and 2x + y = 8, which gives (x, y) = (3, 2). On x = 1, the first slant boundary gives y = 3, while the second permits y = 6; hence (1, 3) is the limiting feasible point. Therefore option C is correct. Option A incorrectly uses (7, 0), which violates 2x + y ≤ 8; the other options contain points outside the feasible region.यह प्रश्न दो चरों वाली रैखिक असमानताओं के ग्राफीय हल की अवधारणा पर आधारित है। हल-क्षेत्र वह सामान्य भाग है जो चारों अर्ध-समतलों में स्थित हो, इसलिए केवल सीमा-रेखाओं के प्रतिच्छेद ही नहीं, बल्कि प्रत्येक बिंदु की सभी असमानताओं में जाँच भी आवश्यक है। y = 0 पर x ≥ 1, x ≤ 7 और x ≤ 4 मिलता है, इसलिए संगत छोर (1, 0) और (4, 0) हैं। x + 2y = 7 तथा 2x + y = 8 को हल करने पर (3, 2) मिलता है। x = 1 रखने पर पहली सीमा से y = 3 मिलता है; दूसरी सीमा y ≤ 6 देती है, इसलिए (1, 3) भी मान्य है। अतः विकल्प C सही है। विकल्प A का (7, 0), 2x + y ≤ 8 का उल्लंघन करता है, जबकि अन्य विकल्पों में ऐसे बिंदु हैं जो सभी शर्तें पूरी नहीं करते।
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