What is the range of (y) in the solution region (x\geq 0), (y\geq 0), (x+3y\leq 12), and (x+y\geq 4)?हल-क्षेत्र (x\geq 0), (y\geq 0), (x+3y\leq 12), (x+y\geq 4) में (y) की सीमा क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (0\leq y\leq 4)(0\leq y\leq 4)
The direct answer is option C, 0≤y≤4. From x≥0 and x+3y≤12, we have 3y≤12, so y≤4. Together with y≥0, this gives 0≤y≤4. Both endpoints are attainable: when y=0, choose x=4, which satisfies x+y≥4 and x+3y≤12; when y=4, choose x=0, which satisfies x+y=4 and x+3y=12. Thus the range is closed, including 0 and 4. Option A, 1≤y≤4, incorrectly excludes the feasible point y=0. Option B, 0<y<4, incorrectly excludes both feasible boundary values. Option C, 0≤y≤4, includes exactly every possible value. Option D, 2≤y≤6, has an incorrect lower bound and exceeds the upper bound. A useful method is to use x≥0 to obtain the largest possible y, then check whether the lower endpoint is allowed by the other conditions. Memory cue: inequalities with ≤ and ≥ usually allow their boundary values.सीधा उत्तर विकल्प C, 0≤y≤4 है। x≥0 और x+3y≤12 से x को हटाने के लिए x का न्यूनतम मान 0 लें। तब 3y≤12, इसलिए y≤4। साथ में दी हुई शर्त y≥0 है, अतः 0≤y≤4। दोनों सीमाएँ वास्तव में संभव हैं। y=0 पर x=4 लेने से x+y=4 और x+3y=4≤12 होता है। y=4 पर x=0 लेने से x+y=4 और x+3y=12 होता है। इसलिए 0 और 4 दोनों शामिल हैं। विकल्प A, 1≤y≤4, y=0 के संभव होने को गलत रूप से निकाल देता है। विकल्प B, 0<y<4, दोनों सीमांत मानों को गलत रूप से बाहर करता है। विकल्प C, 0≤y≤4, ठीक पूरी सीमा देता है। विकल्प D, 2≤y≤6, निचली और ऊपरी दोनों सीमाएँ गलत रखता है। तरीका याद रखें: x≥0 से अधिकतम y निकालें और फिर जाँचें कि न्यूनतम y भी संभव है या नहीं। ≤ और ≥ में बराबरी वाला सीमा-बिंदु सामान्यतः शामिल होता है।
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