In the solution region of \(x+2y\leq 8\), \(x\geq 1\), and \(y\geq 1\), what is the maximum value of (x)?असमानताओं \(x+2y\leq 8\), \(x\geq 1\), \(y\geq 1\) के हल-क्षेत्र में (x) का अधिकतम मान क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (6)(6)
The direct answer is option A, 6. We want x to be as large as possible. The constraint y≥1 says the smallest allowed y is 1. Since x+2y≤8, replacing y by its smallest value gives x+2(1)≤8, so x+2≤8 and x≤6. This bound is attainable at (6,1), which satisfies x≥1, y≥1, and x+2y=8. Hence the maximum is 6. Option A, 6, works exactly at the boundary. Option B, 7, would give 7+2=9>8, so it is not feasible. Option C, 8, would give 10>8 and is also impossible. Option D, 5, is feasible, for example with y=1, but it is not the maximum because 6 is feasible. The key idea is that increasing y consumes two units of the allowance, so for maximum x we choose the smallest permitted y. Exam cue: for a positive coefficient of y in an upper-bound inequality, minimize y when maximizing x.सीधा उत्तर विकल्प A, 6 है। हमें x का सबसे बड़ा मान चाहिए। शर्त y≥1 बताती है कि y का सबसे छोटा संभव मान 1 है। असमानता x+2y≤8 में y=1 रखने पर x+2(1)≤8 मिलता है, अर्थात x+2≤8 और x≤6। यह सीमा (6,1) पर प्राप्त भी होती है; यह बिंदु x≥1, y≥1 और x+2y=8 सभी शर्तें पूरा करता है। इसलिए अधिकतम x=6 है। विकल्प A, 6, सीमा पर ठीक मिलता है। विकल्प B, 7 रखने पर 7+2=9>8 होगा, इसलिए वह संभव नहीं है। विकल्प C, 8 पर 10>8 होगा, इसलिए वह भी असंभव है। विकल्प D, 5 संभव है, जैसे (5,1), लेकिन अधिकतम नहीं है क्योंकि 6 भी संभव है। मुख्य विचार यह है कि y का हर एक बढ़ना सीमा में दो इकाइयाँ खर्च करता है; इसलिए x अधिकतम करने के लिए y को न्यूनतम रखें। परीक्षा संकेत: x+2y जैसी ऊपरी सीमा में x बढ़ाना हो तो y का न्यूनतम मान लें।
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