If x+2y ≤ 10, x+y ≥ 6, and y ≥ 1, what is the position of (4,2)?यदि x+2y ≤ 10, x+y ≥ 6 और y ≥ 1 हों, तो (4,2) का स्थान क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: Only on the boundary x+y=6केवल x+y=6 सीमा पर
The governing concept is feasibility in a system of linear inequalities: a point belongs to the solution region only when it satisfies every inequality, and equality places it on the corresponding boundary. Substitute (x,y)=(4,2). We obtain x+2y=4+2(2)=8≤10, x+y=4+2=6≥6, and y=2≥1, so the point is feasible. Because x+y is exactly 6, the point lies on the boundary line x+y=6. It is not on x+2y=10, since the value is 8 rather than 10, and it is not on y=1, since y=2. Thus it lies on exactly one listed boundary, so option C is correct. Option A wrongly excludes equality, B ignores the satisfied inequalities, and D uses the wrong boundary.इस प्रश्न में मुख्य अवधारणा रैखिक असमानताओं के निकाय का हल-क्षेत्र है। किसी बिंदु को हल-क्षेत्र में होने के लिए उसे प्रत्येक असमानता संतुष्ट करनी चाहिए, जबकि किसी असमानता में बराबरी होने पर बिंदु संबंधित सीमा-रेखा पर स्थित होता है। (x,y)=(4,2) रखने पर x+2y=4+2×2=8≤10, x+y=4+2=6≥6 तथा y=2≥1 मिलता है। इसलिए बिंदु हल-क्षेत्र में है। चूँकि x+y का मान ठीक 6 है, यह x+y=6 सीमा-रेखा पर है। x+2y का मान 8 है, इसलिए वह x+2y=10 पर नहीं है; और y=2 होने से y=1 की सीमा पर भी नहीं है। अतः विकल्प C सही है। विकल्प A बराबरी को गलत रूप से आंतरिक भाग मानता है, B संतुष्ट शर्तों की उपेक्षा करता है और D गलत सीमा बताता है।
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