In x ≥ 0, y ≥ 0, x ≤ 4, y ≤ 3, x + y ≤ 8, which inequality is redundant?व्यवस्था x ≥ 0, y ≥ 0, x ≤ 4, y ≤ 3, x + y ≤ 8 में कौन-सी असमानता अनावश्यक है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: x + y ≤ 8x + y ≤ 8
The governing concept is redundancy in a system of linear inequalities. An inequality is redundant when every point satisfying the other restrictions automatically satisfies it, so removing it does not enlarge or change the feasible region. From x ≤ 4 and y ≤ 3, adding the upper bounds gives x + y ≤ 4 + 3 = 7. Thus every feasible point already satisfies x + y ≤ 7, which is stronger than x + y ≤ 8. The condition x + y ≤ 8 therefore eliminates no additional point and is redundant, making option C correct. The non-negativity conditions and the separate upper bounds still impose independent restrictions. The conclusion follows from the two upper bounds alone and does not require a complete graph.मुख्य अवधारणा रैखिक असमानताओं की अनावश्यकता है। कोई असमानता तब अनावश्यक कहलाती है जब बाकी सभी शर्तों को पूरा करने वाला प्रत्येक बिंदु उसे अपने-आप पूरा करता हो; उसे हटाने पर व्यवहार्य क्षेत्र नहीं बदलता। यहाँ x ≤ 4 और y ≤ 3 को जोड़ने पर x + y ≤ 4 + 3 = 7 प्राप्त होता है। इसलिए हर व्यवहार्य बिंदु पहले ही x + y ≤ 7 संतुष्ट करता है, जो x + y ≤ 8 से अधिक मजबूत शर्त है। अतः x + y ≤ 8 कोई अतिरिक्त बिंदु नहीं हटाती और विकल्प C सही है। x ≥ 0 तथा y ≥ 0 क्षेत्र की दिशा और स्थिति निर्धारित करते हैं, जबकि दोनों अलग-अलग ऊपरी सीमाएँ स्वतंत्र प्रतिबंध देती हैं।
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