What is the common region of x+2y≤10 and x+2y≥4?असमानताओं x+2y≤10 और x+2y≥4 का संयुक्त क्षेत्र क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: strip between two parallel linesदो समानांतर रेखाओं के बीच की पट्टी
The governing concept is intersecting two half-planes represented by linear inequalities. The boundary equations are x+2y=10 and x+2y=4. Their coefficients are identical, so the lines have the same slope and are distinct parallel lines. Combining the inequalities gives 4≤x+2y≤10. Thus a point is accepted when it lies on or between these two boundaries, producing the closed strip between them. The equality signs show that both parallel boundary lines are included. Option D is therefore correct. The common region is not empty; for example, (0,5) gives x+2y=10 and satisfies both conditions. It is not one line, because values such as x+2y=6 also work, and it is not the whole plane because points with x+2y<4 or x+2y>10 fail at least one inequality.यह प्रश्न दो रैखिक असमानताओं से बने अर्ध-समतलों के प्रतिच्छेद पर आधारित है। उनकी सीमा रेखाएं x+2y=10 और x+2y=4 हैं। दोनों में x तथा y के गुणांक समान हैं, इसलिए ये अलग-अलग लेकिन समानांतर रेखाएं हैं। दोनों शर्तों को साथ लिखने पर 4≤x+2y≤10 मिलता है। अर्थात वे सभी बिंदु स्वीकार होंगे जो इन दोनों रेखाओं के बीच या सीमाओं पर स्थित हैं। इसलिए संयुक्त हल दो समानांतर रेखाओं के बीच की बंद पट्टी है और दोनों सीमाएं शामिल हैं। अतः विकल्प D सही है। क्षेत्र रिक्त नहीं है; उदाहरण के लिए (0,5) पर x+2y=10 होता है और दोनों शर्तें पूरी होती हैं। यह केवल एक रेखा भी नहीं है, क्योंकि x+2y=6 वाले अनेक बिंदु भी हल हैं। पूरी समतल कहना गलत है, क्योंकि 4 से छोटे या 10 से बड़े मान वाले बिंदु असफल होते हैं।
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