What is the common solution of (y>1) and (y<1)?असमानताओं (y>1) और (y<1) का संयुक्त हल क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: empty setरिक्त समुच्चय
A common solution must satisfy both inequalities at the same time. The statement \(y>1\) describes all points whose vertical coordinate is above 1, while \(y<1\) describes all points whose vertical coordinate is below 1. A number cannot be strictly greater than 1 and strictly less than 1 simultaneously. The boundary value \(y=1\) is excluded from both inequalities because both signs are strict.
To see this algebraically, a common value would have to obey \(1<y<1\). No real number can lie strictly between the same number and itself. Therefore the intersection of the two solution regions is empty, represented by \(\varnothing\). The line \(y=1\) is not a solution, and neither a whole strip nor the first quadrant describes the intersection. Hence option C is correct.संयुक्त हल का अर्थ है कि कोई बिंदु दोनों असमानताओं को एक साथ संतुष्ट करे। \(y>1\) उन सभी बिंदुओं को बताता है जिनका ऊर्ध्वाधर निर्देशांक 1 से ऊपर है, जबकि \(y<1\) उन बिंदुओं को बताता है जिनका निर्देशांक 1 से नीचे है। कोई संख्या एक ही समय में 1 से बड़ी और 1 से छोटी नहीं हो सकती। \(y=1\) भी शामिल नहीं है, क्योंकि दोनों चिह्न सख्त हैं।
बीजगणितीय रूप में किसी संयुक्त मान के लिए \(1<y<1\) होना आवश्यक होगा। किसी संख्या का उसी संख्या से बड़ा और छोटा होना असंभव है। इसलिए दोनों हल-समुच्चयों का प्रतिच्छेद रिक्त है, जिसे \(\varnothing\) लिखा जाता है। रेखा \(y=1\) भी हल नहीं है। अतः विकल्प C, रिक्त समुच्चय, सही है।
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