The identity Σ from r = 0 to n of (-1)^r ⁿCᵣ = 0 is connected with which substitution?Σ, जहाँ r = 0 से n तक (-1)^r ⁿCᵣ का मान 0 है, किस प्रतिस्थापन से प्राप्त होता है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: Put x = -1 in (1 + x)ⁿPut x = -1 in (1 + x)ⁿ
The governing concept is the binomial theorem, (1+x)ⁿ = Σ from r=0 to n of ⁿCᵣxʳ. The required identity contains the factor (−1)^r, so x must be replaced by −1; this changes xʳ into (−1)^r. The left side then becomes (1−1)ⁿ=0ⁿ=0 for positive n, while the expansion becomes Σ ⁿCᵣ(−1)^r. Therefore option C is correct. If x=1 is used, the result is the sum of all positive coefficients, 2ⁿ. If x=0 is used, all terms except the constant term vanish. Taking x=n creates no alternating sign pattern and cannot produce the stated identity.यह परिणाम द्विपद प्रमेय (1+x)ⁿ = Σ, जहाँ r=0 से n तक, ⁿCᵣxʳ, से प्राप्त होता है। दिए गए योग में प्रत्येक पद के साथ (−1)^r है, इसलिए x के स्थान पर −1 रखना आवश्यक है; तब xʳ का रूप (−1)^r हो जाता है। इस प्रतिस्थापन से बायाँ पक्ष (1−1)ⁿ=0ⁿ=0 बनता है, जब n धनात्मक हो, और विस्तार Σ ⁿCᵣ(−1)^r प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प C सही है। x=1 रखने पर सभी धनात्मक द्विपद गुणांकों का योग 2ⁿ मिलता है। x=0 रखने पर केवल स्थिर पद बचता है। x=n रखने से alternating signs नहीं आते, इसलिए वह दिए गए परिणाम का कारण नहीं हो सकता।
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