What is the coefficient of x⁴ in (1 + x)¹⁰?(1 + x)¹⁰ में x⁴ का गुणांक कौन-सा है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: ¹⁰C₄¹⁰C₄
The governing concept is the binomial theorem: (1+x)¹⁰ = Σ from r=0 to 10 of ¹⁰Cᵣxʳ. The term containing x⁴ is obtained by taking r=4, so its coefficient is ¹⁰C₄. Equivalently, view the expression as a product of ten factors (1+x). To create x⁴, choose x from exactly four factors and choose 1 from the remaining six. The four factors can be selected in ¹⁰C₄ ways, and each selection contributes one x⁴ term. Thus option B is correct. ¹⁰P₄ incorrectly counts an order among the four selected factors, 10⁴ has no valid binomial-selection interpretation, and 4! counts arrangements that do not produce different terms because multiplication is commutative.यह प्रश्न द्विपद प्रमेय पर आधारित है: (1+x)¹⁰ = Σ, जहाँ r = 0 से 10 तक, ¹⁰Cᵣxʳ। x⁴ वाले पद के लिए r = 4 लेना होगा, इसलिए उसका गुणांक ¹⁰C₄ है और विकल्प B सही है। गुणनफल की दृष्टि से दस कोष्ठकों में से ठीक चार कोष्ठकों से x चुनना है तथा शेष छह कोष्ठकों से 1 चुनना है। उन चार कोष्ठकों का चयन ¹⁰C₄ तरीकों से किया जा सकता है और प्रत्येक चयन x⁴ का एक पद देता है। ¹⁰P₄ गलत है क्योंकि वह चयनित स्थानों का क्रम भी गिनता है। 10⁴ इस चयन को नहीं दर्शाता और 4! अनावश्यक क्रम गिनता है, जबकि गुणा में क्रम बदलने से कोई नया पद नहीं बनता। इसलिए केवल ¹⁰C₄ सही गुणांक है।
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