Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
Related questions grouped automatically for chapter-wise practice.
Practice Triangles MCQs with instant answer feedback and easy explanations.
Use topic chips to revise important subtopics before starting the timed quiz.
Open individual question pages for shareable answers, explanations and related MCQs.
Triangles - Topics Covered
Mathematics Triangles ke topic-wise MCQs yahan grouped context me milenge. jo aap ko Exam ki preparation me madad milegi. Ye questions exam-oriented hai and students ko concept clarity, quick revision aur board exam preparation kaafi madad karenge. Sabhi se jude MCQs important topics ke anusar arranged hai, taaki aap Triangles ko easy tarike se practice aur revise kar sake.
Square root spiral
58 MCQs
Start Triangles Quiz
Difficulty select karke Mathematics / Triangles chapter-filtered timed practice karein. Har button me live question count show hoga.
A. पिछली कर्ण पर लंबवत 1 इकाई का रेखाखंड/A unit segment perpendicular to the previous hypotenuse
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में पिछली कर्ण के सिरे पर 1 इकाई की लंबवत भुजा बनाई जाती है। पायथागोरस के अनुसार नई कर्ण का वर्ग, पिछली कर्ण के वर्ग में 1 जोड़ने से मिलता है। समानांतर रेखाखंड समकोण नहीं बनाएगा। परीक्षा में “लंबवत 1 इकाई” याद रखें। / In a square root spiral, a unit segment is drawn perpendicular to the previous hypotenuse. By Pythagoras, the square of the new hypotenuse equals the previous square plus 1. A parallel segment would not form a right angle. Exam tip: remember “perpendicular unit segment.”
पहले समकोण त्रिभुज की दोनों लम्बवत भुजाएँ 1 इकाई हैं। पाइथागोरस प्रमेय से कर्ण \(=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\) होता है। \(2\) कर्ण का मान नहीं, बल्कि कर्ण के वर्ग का मान है। परीक्षा टिप: वर्गमूल सर्पिल का पहला कर्ण हमेशा \(\sqrt{2}\) होता है। / The two perpendicular sides of the first right triangle are 1 unit each. By Pythagoras’ theorem, the hypotenuse is \(\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\). \(2\) is the value of the square of the hypotenuse, not the hypotenuse itself. Exam tip: the first hypotenuse in a square root spiral is always \(\sqrt{2}\).
वर्गमूल सर्पिल में प्रत्येक नया समकोण त्रिभुज पिछले त्रिभुज की कर्ण को एक भुजा मानकर बनाया जाता है और उसकी नई लंब भुजा 1 इकाई रखी जाती है। पाइथागोरस प्रमेय से अगली कर्ण की लंबाई क्रमशः \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}\) आदि प्राप्त होती है। \(\sqrt{2}\) नई लंब भुजा नहीं, बल्कि पहले नए त्रिभुज की कर्ण है। परीक्षा टिप: सर्पिल में जो भुजा हर चरण में स्थिर रहती है, वह 1 इकाई होती है। / In a square root spiral, each new right triangle uses the hypotenuse of the previous triangle as one side, and its new perpendicular side is kept 1 unit long. By Pythagoras’ theorem, the successive hypotenuses become \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}\), and so on. \(\sqrt{2}\) is not the new perpendicular side; it is the hypotenuse of the first new triangle. Exam tip: remember that the side kept constant at every step is 1 unit.
B. ताकि समकोण त्रिभुज बने और अगला कर्ण अगली प्राकृतिक संख्या का वर्गमूल दर्शाए/To form a right triangle so that the next hypotenuse represents the square root of the next natural number
Explanation
Simple Explanation
लंबवत 1 इकाई की भुजा जोड़ने से समकोण त्रिभुज बनता है। पाइथागोरस के अनुसार नए कर्ण का वर्ग = पिछले कर्ण का वर्ग + 1 होता है, इसलिए क्रमिक वर्गमूल मिलते हैं। परीक्षा टिप: लंबवत भुजा पहचानें। / Adding a perpendicular 1-unit side forms a right triangle. By Pythagoras, the square of the new hypotenuse equals the previous square plus 1, producing successive square roots. Exam tip: identify the perpendicular unit side first.
वर्गमूल सर्पिल में पिछले त्रिभुज का कर्ण अगले त्रिभुज की एक भुजा बनता है और उसके साथ 1 इकाई की नई लम्ब भुजा खींची जाती है। पाइथागोरस प्रमेय से नया कर्ण बनता है। परीक्षा टिप: हर चरण में 1 इकाई वाली भुजा पहचानें। / In a square root spiral, the previous hypotenuse becomes a side of the next triangle, and a new perpendicular side of 1 unit is added. The new hypotenuse follows from Pythagoras’ theorem. Exam tip: identify the newly added unit side at every step.
वर्गमूल सर्पिल में प्रत्येक नया त्रिभुज समकोण त्रिभुज बनाया जाता है। इसलिए पिछली भुजा के सिरे पर 1 इकाई की लंब रेखा \(90^\circ\) के कोण पर खींची जाती है। \(60^\circ\) या \(45^\circ\) पर रेखा खींचने से वह लंब नहीं होगी और आवश्यक समकोण त्रिभुज नहीं बनेगा। परीक्षा टिप: ‘लंब’ शब्द का अर्थ हमेशा \(90^\circ\) का कोण होता है। / In a square root spiral, each new triangle must be a right-angled triangle. Therefore, the 1-unit perpendicular segment is drawn at \(90^\circ\) to the previous side. A line at \(60^\circ\) or \(45^\circ\) would not be perpendicular and would not form the required right triangle. Exam tip: the word “perpendicular” always indicates an angle of \(90^\circ\).
वर्गमूल सर्पिल लगातार समकोण त्रिभुजों से बनती है और हर नया लम्बवत् आधार 1 इकाई लिया जाता है। तब पाइथागोरस से नई कर्णों की लंबाइयाँ
1,
2,
3… मिलती हैं। परीक्षा में स्थिर 1 इकाई वाली भुजा पहचानें। / A square root spiral is made from successive right triangles, each with a new perpendicular side of 1 unit. By Pythagoras, the hypotenuses become
1,
2,
3, and so on. Exam tip: identify the constant 1-unit added side.
A. पिछले त्रिभुज के कर्ण को एक भुजा तथा 1 इकाई को दूसरी भुजा लेकर
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में पिछले त्रिभुज का कर्ण अगले त्रिभुज की एक भुजा बनता है और दूसरी लम्बवत भुजा 1 इकाई होती है। पाइथागोरस नियम से नया कर्ण अगले प्राकृतिक संख्या का वर्गमूल बनता है। परीक्षा टिप: 1 इकाई वाली नई भुजा पहचानें। / In a square root spiral, the previous hypotenuse becomes one side of the next right triangle, and the perpendicular new side is 1 unit. By Pythagoras’ theorem, the new hypotenuse is the square root of the next natural number. Exam tip: identify the added 1-unit side.
A. पिछले त्रिभुज का कर्ण/The hypotenuse of the previous triangle
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में पिछले समकोण त्रिभुज का कर्ण अगले त्रिभुज की एक भुजा बनता है और उसके सिरे पर 1 इकाई की लम्ब भुजा खींची जाती है। इसलिए नया कर्ण क्रमशः अगले वर्गमूल को दर्शाता है। परीक्षा टिप: हर चरण में कर्ण को आगे की भुजा मानें। / In a square root spiral, the hypotenuse of one right triangle becomes a side of the next triangle, and a perpendicular side of length 1 is added. Thus, each new hypotenuse represents the next square root. Exam tip: track the previous hypotenuse at every step.
A. पिछली कर्ण के एक सिरे पर 1 इकाई की लंबवत भुजा बनाकर/By drawing a 1-unit perpendicular side at an end of the previous hypotenuse
Explanation
Simple Explanation
पिछली कर्ण \(\sqrt{n}\) और नई लंबवत भुजा 1 होने पर पायथागोरस से नई कर्ण \(\sqrt{n+1}\) मिलती है। समानांतर भुजा बनाने से समकोण त्रिभुज नहीं बनता। परीक्षा में 1 इकाई वाली भुजा पहचानें। / With previous hypotenuse \(\sqrt{n}\) and a new perpendicular side of 1 unit, Pythagoras gives \(\sqrt{n+1}\). A parallel side does not form the required right triangle. Exam tip: identify the fixed 1-unit leg.
वर्गमूल सर्पिल में हर नए समकोण त्रिभुज की एक भुजा 1 इकाई रखी जाती है और दूसरी भुजा पिछले त्रिभुज का कर्ण होती है। जैसे पिछले कर्ण
\(\sqrt{5}\) हो, तो नया कर्ण \(\sqrt{5+1}=\sqrt{6}\) होगा। परीक्षा टिप: स्थिर भुजा हमेशा 1 इकाई पहचानें। / In a square root spiral, one leg of every new right triangle is fixed at 1 unit, while the other leg is the previous hypotenuse. For example, after \(\sqrt{5}\), the next hypotenuse is \(\sqrt{5+1}=\sqrt{6}\). Exam tip: remember that the fixed leg is always 1 unit.
वर्गमूल सर्पिल में पिछली कर्ण को नई त्रिभुज की एक भुजा लिया जाता है और दूसरी भुजा 1 इकाई होती है। पाइथागोरस से नई कर्ण का वर्ग पिछले वर्ग में 1 जुड़ने से मिलता है। परीक्षा टिप: हर नया त्रिभुज समकोण वाला होता है। / In a square root spiral, the previous hypotenuse becomes one leg of the next right triangle, while the other leg is 1 unit. By Pythagoras, the new hypotenuse squared is the previous square plus 1. Exam tip: every added triangle is right-angled.
वर्गमूल सर्पिल में हर नए समकोण त्रिभुज की एक भुजा 1 इकाई रखी जाती है और दूसरी भुजा पिछली कर्ण होती है। इसलिए कर्णों के वर्ग क्रमशः 2, 3, 4… बढ़ते हैं। परीक्षा टिप: स्थिर भुजा हमेशा 1 पहचानें। / Each new right triangle in a square root spiral has one leg of length 1 unit and the previous hypotenuse as the other leg. Hence the squares of hypotenuses increase as 2, 3, 4, …. Exam tip: identify the fixed 1-unit leg.
वर्गमूल सर्पिल में पिछले त्रिभुज की कर्ण अगली समकोण त्रिभुज की एक भुजा बनती है और दूसरी भुजा 1 इकाई होती है। पाइथागोरस प्रमेय से नई कर्ण क्रमशः \(\sqrt{2}, \sqrt{3}\) आदि होती है। परीक्षा टिप: साझा भुजा को पहचानें। / In a square root spiral, the hypotenuse of one triangle becomes one leg of the next right triangle, while the other leg is 1 unit. By Pythagoras, the new hypotenuse becomes \(\sqrt{2}, \sqrt{3}\), and so on. Exam tip: identify the shared side.
A. नया त्रिभुज पिछले त्रिभुज के कर्ण पर बनाया जाता है और उसकी एक भुजा 1 इकाई होती है।
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में पिछले त्रिभुज का कर्ण अगले समकोण त्रिभुज की एक भुजा बनता है तथा दूसरी लम्ब भुजा 1 इकाई ली जाती है। पाइथागोरस प्रमेय से नया कर्ण क्रमशः \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}\) आदि देता है। परीक्षा में 1 इकाई वाली नई लम्ब भुजा अवश्य पहचानें। / In a square root spiral, the hypotenuse of the previous triangle becomes one leg of the next right triangle, and the other perpendicular leg is 1 unit. By Pythagoras’ theorem, the new hypotenuse becomes \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}\), and so on. Exam tip: look for the added 1-unit perpendicular side.
वर्गमूल सर्पिल में नया 1 इकाई का रेखाखंड पिछले त्रिभुज के कर्ण पर लंबवत बनाया जाता है। इससे नया कर्ण अगले वर्गमूल को दर्शाता है। परीक्षा में आकृति में कर्ण को पहचानकर उसी पर समकोण चिह्न देखें। / In a square root spiral, the new 1-unit segment is drawn perpendicular to the hypotenuse of the preceding triangle. The resulting hypotenuse represents the next square root. Exam tip: locate the right-angle mark; it is made with the previous hypotenuse.
A. पिछले त्रिभुज के कर्ण और 1 इकाई की नई लंबवत भुजा से/Using the previous triangle’s hypotenuse and a new perpendicular side of 1 unit
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में पिछले त्रिभुज का कर्ण अगली भुजा बनता है और उसके सिरे पर 1 इकाई की लंबवत भुजा खींची जाती है। पाइथागोरस से नया कर्ण अगला वर्गमूल देता है। परीक्षा में ‘लंबवत 1 इकाई’ पहचानें। / In a square root spiral, the previous hypotenuse becomes one side of the next right triangle, and a perpendicular side of 1 unit is added. By Pythagoras, the new hypotenuse gives the next square root. Exam tip: look for the 1-unit perpendicular side.
A. पिछले कर्ण के सिरे पर 1 इकाई की लंबवत भुजा खींचकर/By drawing a perpendicular side of 1 unit at the end of the previous hypotenuse
Explanation
Simple Explanation
हर नए त्रिभुज में पिछला कर्ण एक भुजा बनता है और उसके सिरे पर 1 इकाई की लंबवत भुजा खींची जाती है। पाइथागोरस प्रमेय से नया कर्ण अगला वर्गमूल देता है। परीक्षा में लंबवत 1 इकाई वाली भुजा पहचानें। / In each new triangle, the previous hypotenuse becomes one side and a 1-unit perpendicular is drawn at its end. By Pythagoras’ theorem, the new hypotenuse represents the next square root. Exam tip: look for the perpendicular unit side.
A. पिछले कर्ण के अंतिम बिंदु पर 1 इकाई का लंब रेखाखंड खींचकर/By drawing a perpendicular segment of length 1 at the endpoint of the previous hypotenuse
Explanation
Simple Explanation
हर नए चरण में पिछले कर्ण के अंतिम बिंदु पर 1 इकाई की लंब भुजा बनाई जाती है। पायथागोरस प्रमेय से नया कर्ण
ot valid? / A unit segment perpendicular to the previous hypotenuse forms the next right triangle. By Pythagoras,
ot valid?
A. एक भुजा की लंबाई 1 होती है और दूसरी भुजा पिछले त्रिभुज की कर्ण होती है
Explanation
Simple Explanation
हर चरण में 1 इकाई की नई भुजा को पिछले कर्ण के लंबवत जोड़ा जाता है। पायथागोरस प्रमेय से नया कर्ण
t\(\sqrt{n+1}\) बनता है। समबाहु त्रिभुज वाला विकल्प गलत है। परीक्षा में कर्ण और 1 इकाई भुजा पहचानें। / At each step, a new side of length 1 is drawn perpendicular to the previous hypotenuse. By Pythagoras, the new hypotenuse becomes \(\sqrt{n+1}\). The triangles are not equilateral. Exam tip: identify the old hypotenuse and unit side.
A. पिछली कर्ण को एक भुजा मानकर उस पर 1 इकाई की लंबवत भुजा बनाई जाती है
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में पिछले त्रिभुज की कर्ण अगली भुजा बनती है और उसके सिरे पर 1 इकाई की लंबवत भुजा खींची जाती है। पाइथागोरस से नई कर्ण का वर्ग पिछले कर्ण के वर्ग में 1 जोड़ने पर मिलता है। परीक्षा में लंबवत 1 इकाई वाली नई भुजा पहचानें। / In a square root spiral, the hypotenuse of one triangle becomes a side of the next, with a perpendicular side of length 1 added. By Pythagoras, the new hypotenuse squared is the previous hypotenuse squared plus 1. Exam tip: identify the new unit perpendicular side.
A. क्योंकि प्रत्येक नया समकोण त्रिभुज पिछले त्रिभुज के चारों ओर थोड़ा घूमकर बनाया जाता है/Because each new right triangle is constructed by turning slightly around the previous triangle
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में हर नया समकोण त्रिभुज पिछले त्रिभुज की कर्ण को एक भुजा मानकर बनाया जाता है। इस प्रक्रिया में नई भुजा की दिशा लगातार बदलती है, इसलिए पूरी रचना घूमती हुई सर्पिल जैसी दिखाई देती है। विकल्प B गलत है क्योंकि रेखाखंड समानांतर नहीं होते। परीक्षा टिप: वर्गमूल सर्पिल की रचना में क्रमिक समकोण त्रिभुजों और उनकी बदलती दिशा को पहचानें। / In a square root spiral, each new right triangle is constructed by taking the hypotenuse of the previous triangle as one of its sides. The direction of the new side keeps changing, so the entire construction appears to turn like a spiral. Option B is incorrect because the line segments are not parallel. Exam tip: identify the successive right triangles and their changing direction in a square root spiral.
A. प्रत्येक नए त्रिभुज की एक भुजा 1 इकाई और दूसरी भुजा पिछले त्रिभुज का कर्ण होती है
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में पिछले त्रिभुज के कर्ण पर 1 इकाई की लम्ब भुजा खींची जाती है। पाइथागोरस प्रमेय से नया कर्ण क्रमशः \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}\) आदि बनता है। समबाहु त्रिभुज वाली बात गलत है। परीक्षा टिप: लम्ब भुजा हमेशा 1 इकाई याद रखें। / In a square root spiral, a perpendicular side of length 1 is drawn to the previous hypotenuse. By Pythagoras’ theorem, the new hypotenuse becomes \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}\), and so on. It is not an equilateral triangle. Exam tip: remember that the added perpendicular side is always 1 unit.
वर्गमूल सर्पिल में प्रत्येक नया समकोण त्रिभुज बनाया जाता है। उसकी कर्ण की लंबाई पाइथागोरस प्रमेय, \(c^2=a^2+b^2\), से मिलती है; यही अगला वर्गमूल दर्शाती है। परीक्षा टिप: चित्र में कर्ण पहचानें। / A square root spiral is formed using successive right triangles. The hypotenuse is found by Pythagoras’ theorem, \(c^2=a^2+b^2\), and represents the next square root. Exam tip: identify the hypotenuse first.
A. पिछले कर्ण के एक सिरे पर 1 इकाई की रेखा उसके लंबवत खींची जाती है/A line segment of length 1 is drawn perpendicular to the previous hypotenuse at one endpoint.
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में पिछले कर्ण को एक भुजा मानकर उसके सिरे पर 1 इकाई की लंब भुजा बनाई जाती है। पाइथागोरस से नया कर्ण \(\sqrt{n+1}\) होता है। समानांतर रेखा से समकोण नहीं बनेगा। परीक्षा में लंब चिह्न पहचानें। / In a square root spiral, the previous hypotenuse becomes one leg and a 1-unit perpendicular leg is added at its endpoint. By Pythagoras, the next hypotenuse is \(\sqrt{n+1}\). A parallel segment will not form the required right angle. Exam tip: look for the perpendicular mark.
एक विद्यार्थी ने वर्गमूल सर्पिल में
\(\sqrt{10}\) को दर्शाने के लिए क्रमशः 1 इकाई भुजा वाले समकोण त्रिभुज बनाते हुए नौ नए त्रिभुज जोड़े। क्या उसका तरीका सही है?
A. हाँ, क्योंकि दसवीं कर्ण की लंबाई \(\sqrt{10}\) होती है।/Yes, because the tenth hypotenuse has length \(\sqrt{10}\).
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में प्रारम्भिक रेखाखंड \(\sqrt{1}\) है। हर नया समकोण त्रिभुज जोड़ने पर कर्ण का वर्ग 1 बढ़ता है; इसलिए 9 नए त्रिभुजों के बाद कर्ण \(\sqrt{10}\) होगा। परीक्षा में चरणों की गिनती प्रारम्भिक \(\sqrt{1}\) से करें। / A square root spiral starts with \(\sqrt{1}\). Each added right triangle increases the square of the hypotenuse by 1, so after 9 new triangles the hypotenuse is \(\sqrt{10}\). Exam tip: count from the initial \(\sqrt{1}\), not from zero.
वर्गमूल सर्पिल में हर नया समकोण त्रिभुज पिछले कर्ण पर 1 इकाई की लम्ब भुजा जोड़कर बनता है। इसलिए नया कर्ण क्रमशः \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}\) आदि होता है। परीक्षा टिप: नई जोड़ी गई भुजा हमेशा 1 याद रखें। / In a square root spiral, each new right triangle is formed by adding a perpendicular side of 1 unit to the previous hypotenuse. Hence the new hypotenuse becomes \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}\), and so on. Exam tip: the added side is always 1 unit.
A. पाइथागोरस प्रमेय से अगला कर्ण \(\sqrt{n+1}\) प्राप्त करने के लिए/To obtain the next hypotenuse \(\sqrt{n+1}\) using Pythagoras’ theorem
Explanation
Simple Explanation
यदि पिछले कर्ण की लंबाई \(\sqrt{n}\) है और उसके लंबवत 1 इकाई का रेखाखंड बनाया जाए, तो नए कर्ण का वर्ग \(n+1\) होगा। इसलिए उसकी लंबाई \(\sqrt{n+1}\) होती है। परीक्षा में समकोण अवश्य पहचानें। / If the previous hypotenuse is \(\sqrt{n}\) and a unit segment is drawn perpendicular to it, the square of the new hypotenuse is \(n+1\). Hence its length is \(\sqrt{n+1}\). In exams, first identify the right angle.
A. मूल बिंदु से उस बिंदु तक की दूरी, जो \(\sqrt{n}\) दर्शाता है
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में प्रत्येक नए समकोण त्रिभुज की एक भुजा 1 होती है और कर्ण क्रमशः \(\sqrt{2}, \sqrt{3}\) आदि बनते हैं। इसलिए मूल बिंदु से संबंधित बिंदु की दूरी \(\sqrt{n}\) होती है। परीक्षा में कर्ण को ही वर्गमूल की लंबाई पहचानें। / In a square root spiral, each new right triangle has one leg of length 1, so its hypotenuse becomes \(\sqrt{2}, \sqrt{3}\), and so on. Thus, the distance from the starting point to the relevant point represents \(\sqrt{n}\). Exam tip: identify the hypotenuse, not the unit side.
वर्गमूल सर्पिल में प्रत्येक नया समकोण त्रिभुज एक इकाई भुजा जोड़ता है। यदि पिछला कर्ण \(\sqrt{4}\) हो, तो पाइथागोरस प्रमेय से नया कर्ण \(\sqrt{4+1}=\sqrt{5}\) होगा। \(\pi\) इस क्रम का रूप नहीं है। परीक्षा टिप: कर्णों का क्रम \(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{4}\dots\) याद रखें। / Each new right triangle in a square root spiral adds a unit side. If the previous hypotenuse is \(\sqrt{4}\), Pythagoras gives the next hypotenuse as \(\sqrt{4+1}=\sqrt{5}\). \(\pi\) is not obtained in this sequence. Exam tip: remember the hypotenuse pattern \(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{4}\dots\).
A. प्रत्येक नए समकोण त्रिभुज में एक भुजा 1 इकाई और दूसरी लंब भुजा पिछले त्रिभुज का कर्ण होती है।
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में हर नया समकोण त्रिभुज पिछले कर्ण और 1 इकाई की नई लंब भुजा से बनता है। इसलिए कर्ण क्रमशः बढ़ते हैं। परीक्षा टिप: संबंध \(h_{\text{new}}^2=h_{\text{old}}^2+1\) याद रखें। / In a square root spiral, each new right triangle uses the previous hypotenuse and a new perpendicular side of length 1. Hence the hypotenuses increase, not remain equal. Exam tip: remember \(h_{\text{new}}^2=h_{\text{old}}^2+1\).
वर्गमूल सर्पिल बनाते समय प्रत्येक नया समकोण त्रिभुज पिछले त्रिभुज की कर्ण पर बनाया जाता है। यदि किसी चरण में कर्ण की लंबाई \(\sqrt{10}\) है और नई लम्ब भुजा \(1\) इकाई है, तो नए त्रिभुज की कर्ण क्या होगी?
पाइथागोरस प्रमेय से नई कर्ण² = \((\sqrt{10})^2+1^2=10+1=11\)। इसलिए नई कर्ण \(\sqrt{11}\) होगी। \(\sqrt{20}\) में पुरानी कर्ण का वर्ग गलत लिया गया है। परीक्षा में पहले कर्ण का वर्ग अवश्य करें। / By Pythagoras’ theorem, new hypotenuse² = \((\sqrt{10})^2+1^2=10+1=11\). Hence the new hypotenuse is \(\sqrt{11}\). \(\sqrt{20}\) results from squaring the previous hypotenuse incorrectly. Exam tip: square the radical first.
पाइथागोरस प्रमेय से कर्ण² = 1² + 1² = 2, इसलिए कर्ण \(\sqrt{2}\) इकाई है। 2 केवल दोनों भुजाओं का योग है, कर्ण नहीं। परीक्षा में कर्ण के लिए भुजाओं के वर्गों का योग लें। / By Pythagoras’ theorem, hypotenuse² = 1² + 1² = 2, so the hypotenuse is \(\sqrt{2}\) units. Option 2 is only the sum of the sides, not the hypotenuse. Exam tip: add squares, then take the square root.
वर्गमूल सर्पिल में नए समकोण त्रिभुज की एक भुजा पिछले त्रिभुज का कर्ण होती है और दूसरी भुजा 1 इकाई ली जाती है। पाइथागोरस प्रमेय से नया कर्ण अगला वर्गमूल दर्शाता है। परीक्षा टिप: साझा भुजा को हमेशा पिछले कर्ण के रूप में पहचानें। / In a square root spiral, one leg of the new right triangle is the hypotenuse of the previous triangle, while the other leg is 1 unit. By Pythagoras’ theorem, the new hypotenuse represents the next square root. Exam tip: identify the previous hypotenuse as the shared side.
A. पिछले कर्ण पर 1 इकाई की लंबवत भुजा जोड़कर/By adding a unit-length side perpendicular to the previous hypotenuse
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में पिछले त्रिभुज के कर्ण पर 1 इकाई की लंबवत भुजा बनाई जाती है। पाइथागोरस प्रमेय से नया कर्ण क्रमशः \(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{4}\) आदि देता है। परीक्षा में ‘लंबवत 1 इकाई’ नियम याद रखें। / In a square root spiral, a unit-length side is drawn perpendicular to the previous hypotenuse. By Pythagoras’ theorem, the new hypotenuse becomes \(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{4}\), and so on. Exam tip: remember “perpendicular unit side.”
A. यह उस नए समकोण त्रिभुज का कर्ण होता है जिसकी अन्य भुजाएँ \(\sqrt{n-1}\) और 1 हैं।/It is the hypotenuse of the new right triangle whose other sides are \(\sqrt{n-1}\) and 1.
Explanation
Simple Explanation
हर नया त्रिभुज पिछले कर्ण \(\sqrt{n-1}\) पर 1 इकाई की लम्बवत भुजा बनाकर बनाया जाता है। पाइथागोरस से \((\sqrt{n-1})^2+1^2=n\), इसलिए कर्ण \(\sqrt{n}\) है। 1 इकाई वाला खंड कर्ण नहीं, एक भुजा है। परीक्षा टिप: सर्पिल में हर नया कर्ण अगला वर्गमूल दर्शाता है। / Each new triangle is formed by drawing a perpendicular side of length 1 on the previous hypotenuse \(\sqrt{n-1}\). By Pythagoras, \((\sqrt{n-1})^2+1^2=n\), so its hypotenuse is \(\sqrt{n}\). The 1-unit segment is a leg, not the hypotenuse. Exam tip: every new hypotenuse represents the next square root.
A. पिछले त्रिभुज का कर्ण और 1 इकाई की नई भुजा/The previous triangle’s hypotenuse and a new side of length 1 unit
Explanation
Simple Explanation
हर नए त्रिभुज में पिछले त्रिभुज का कर्ण एक भुजा बनता है और उस पर 1 इकाई की लम्ब भुजा जोड़ी जाती है। यदि पुराना कर्ण \(\sqrt{n}\) है, तो नया कर्ण \(\sqrt{n+1}\) होगा। दो 1-इकाई भुजाएँ केवल \(\sqrt{2}\) देती हैं। परीक्षा टिप: स्थिर भुजा हमेशा 1 इकाई पहचानें। / In each new triangle, the previous hypotenuse becomes one leg and a perpendicular unit-length leg is added. If the old hypotenuse is \(\sqrt{n}\), Pythagoras gives the new one as \(\sqrt{n+1}\). Two unit legs produce only \(\sqrt{2}\). Exam tip: identify the fixed unit leg first.
A. 1 इकाई लंबी लम्ब भुजा/A perpendicular side of length 1 unit
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में पिछले कर्ण के एक सिरे पर 1 इकाई की लम्ब भुजा खींची जाती है। पाइथागोरस से नया कर्ण क्रमशः \(\sqrt{n+1}\) बनता है। परीक्षा टिप: जोड़ी गई भुजा हमेशा 1 इकाई पहचानें। / In a square root spiral, a perpendicular side of length 1 unit is drawn from an end of the previous hypotenuse. By Pythagoras, the new hypotenuse becomes \(\sqrt{n+1}\). Exam tip: the added side is always 1 unit.
A. पिछले कर्ण के अंतिम बिंदु पर 1 इकाई का लंबवत रेखाखंड खींचना
Explanation
Simple Explanation
हर चरण में पिछले कर्ण के अंतिम बिंदु पर 1 इकाई का लंबवत रेखाखंड खींचा जाता है, इसलिए नया त्रिभुज समकोण होता है। यदि पुराना कर्ण \(\sqrt{n}\) है, तो नया कर्ण \(\sqrt{n+1}\) होगा। परीक्षा में ‘लंबवत’ शब्द पहचानें। / At each step, a unit segment is drawn perpendicular to the previous hypotenuse, making a new right triangle. If the old hypotenuse is \(\sqrt{n}\), Pythagoras gives the next one as \(\sqrt{n+1}\). Exam tip: look for “perpendicular.”
A. दोनों में समकोण त्रिभुज बनाया जाता है और कर्ण ज्ञात करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय लगाया जाता है/In both, a right-angled triangle is constructed and Pythagoras’ theorem is used to find the hypotenuse.
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में \(\sqrt{2}\) के लिए 1 इकाई और 1 इकाई भुजाओं वाला समकोण त्रिभुज बनता है, जिसका कर्ण \(\sqrt{2}\) होता है। फिर \(\sqrt{3}\) के लिए \(\sqrt{2}\) को एक भुजा तथा 1 इकाई की लंबवत भुजा लेकर समकोण त्रिभुज बनाया जाता है; उसका कर्ण \(\sqrt{3}\) होता है। इसलिए दोनों में पाइथागोरस प्रमेय से कर्ण निकाला जाता है। विकल्प B केवल \(\sqrt{2}\) के लिए सही है, \(\sqrt{3}\) के लिए नहीं। परीक्षा टिप: सर्पिल के हर नए चरण में पिछला कर्ण और 1 इकाई की लंबवत भुजा प्रयुक्त होती है। / In a square root spiral, \(\sqrt{2}\) is the hypotenuse of a right-angled triangle with two sides of 1 unit. To construct \(\sqrt{3}\), a right-angled triangle is formed using \(\sqrt{2}\) as one side and a perpendicular side of 1 unit; its hypotenuse is \(\sqrt{3}\). Thus, both constructions use Pythagoras’ theorem to obtain the hypotenuse. Option B applies only to \(\sqrt{2}\), not to \(\sqrt{3}\). Exam tip: each new step of the spiral uses the previous hypotenuse and a perpendicular side of 1 unit.
A. 1 इकाई लंबवत भुजा/A perpendicular side of length 1 unit
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में पिछले कर्ण पर 1 इकाई की लंबवत भुजा बनाई जाती है। पाइथागोरस के अनुसार नया कर्ण
\(\sqrt{n+1}\) बनता है। परीक्षा में ‘1 इकाई लंबवत’ को सर्पिल की मुख्य रचना-शर्त याद रखें। / In a square root spiral, a perpendicular side of 1 unit is drawn on the previous hypotenuse. By Pythagoras, the new hypotenuse becomes \(\sqrt{n+1}\). Exam tip: remember “1-unit perpendicular” as the key construction rule.
वर्गमूल सर्पिल में हर चरण पर पिछली कर्ण के एक सिरे पर \(1\) इकाई की लम्बवत भुजा खींची जाती है। इससे अगली कर्ण क्रमशः \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}\) आदि बनती है। \(\sqrt{2}\) भुजा नहीं, प्रारम्भिक कर्ण है। परीक्षा टिप: नई जोड़ी गई भुजा हमेशा \(1\) होती है। / In a square root spiral, a perpendicular side of length \(1\) is drawn at an endpoint of the previous hypotenuse. The new hypotenuse then becomes \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}\), and so on. \(\sqrt{2}\) is an early hypotenuse, not the added side. Exam tip: the newly added side is always \(1\).
C. पिछले कर्ण के वर्ग में \(1^2\) जुड़ता है/\(1^2\) is added to the square of the previous hypotenuse
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल के अगले समकोण त्रिभुज में पिछला कर्ण \(\sqrt{14}\) एक भुजा होता है और दूसरी लंबवत भुजा 1 होती है। पाइथागोरस प्रमेय से नए कर्ण का वर्ग \((\sqrt{14})^2+1^2=14+1=15\) होता है, इसलिए नया कर्ण \(\sqrt{15}\) है। \(\sqrt{14}+1\) को \(\sqrt{15}\) नहीं माना जा सकता। परीक्षा टिप: सर्पिल के हर नए चरण में पिछले कर्ण के वर्ग में \(1^2\) जोड़ें। / In the next right triangle of the square root spiral, the previous hypotenuse \(\sqrt{14}\) becomes one side and the new perpendicular side has length 1. By Pythagoras’ theorem, the square of the new hypotenuse is \((\sqrt{14})^2+1^2=14+1=15\), so the new hypotenuse is \(\sqrt{15}\). Note that \(\sqrt{14}+1\) is not equal to \(\sqrt{15}\). Exam tip: at each new step, add \(1^2\) to the square of the previous hypotenuse.
वर्गमूल सर्पिल में हर चरण पर पिछली कर्ण के एक सिरे पर 1 इकाई का लंब बनाया जाता है। पाइथागोरस प्रमेय से नई कर्ण का वर्ग पिछले कर्ण के वर्ग में 1 जुड़ने से मिलता है; इसलिए क्रमशः √2, √3, √4 आदि बनते हैं। परीक्षा टिप: स्थिर भुजा हमेशा 1 इकाई पहचानें। / At every step, a perpendicular of length 1 unit is drawn at an endpoint of the previous hypotenuse. By Pythagoras, the square of the new hypotenuse is the previous square plus 1, producing √2, √3, √4, and so on. Exam tip: identify the fixed 1-unit side first.
A. पिछले त्रिभुज का कर्ण नए त्रिभुज की एक भुजा बनता है
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में पिछले त्रिभुज का कर्ण अगले समकोण त्रिभुज की एक भुजा लिया जाता है और दूसरी भुजा 1 इकाई होती है। इसलिए कर्णों की लंबाइयाँ क्रमशः \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}\) आदि बनती हैं। परीक्षा में 1 इकाई वाली नई भुजा पहचानें। / In a square root spiral, the hypotenuse of one right triangle becomes a side of the next triangle, while the other new side is 1 unit. Thus the hypotenuses progress as \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}\), and so on. Exam tip: identify the newly added 1-unit side.
A. पिछले कर्ण पर लंबवत 1 इकाई का रेखाखंड खींचा जाता है/A line segment of length 1 is drawn perpendicular to the previous hypotenuse
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में पिछला कर्ण अगले समकोण त्रिभुज की एक भुजा बनता है और उस पर 1 इकाई का लंबवत रेखाखंड खींचा जाता है। इसलिए नया कर्ण क्रमशः अगले वर्गमूल को दर्शाता है। परीक्षा टिप: लंबवत चिह्न देखकर समकोण पहचानें। / In a square root spiral, the previous hypotenuse becomes one leg of the next right triangle, and a unit segment is drawn perpendicular to it. Hence the new hypotenuse represents the next square root. Exam tip: look for the perpendicular unit side.
वर्गमूल सर्पिल में हर नया समकोण त्रिभुज 1 इकाई की भुजा जोड़ता है। पाइथागोरस से नई दूरी का वर्ग \((n-1)+1=n\) होता है, इसलिए दूरी \(\sqrt{n}\) है। परीक्षा में त्रिज्या को ही संख्या का मानक मानें, कोण को नहीं। / In a square root spiral, each new right triangle adds a side of length 1. By Pythagoras, the new squared distance is \((n-1)+1=n\), so the radius is \(\sqrt{n}\). Exam tip: identify numbers by their distance from the origin, not by the angle.
A. पिछले कर्ण के एक सिरे पर 1 इकाई का लंब खींचा जाता है।
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में पिछले कर्ण के सिरे पर 1 इकाई का लंब खींचकर नया समकोण त्रिभुज बनता है। पाइथागोरस से नया कर्ण
\(\sqrt{n+1}\) होता है। समानांतर रेखा लंब कोण नहीं बनाती। परीक्षा टिप: हर नई बाहरी भुजा 1 इकाई होती है। / In a square root spiral, a 1-unit perpendicular is drawn at an endpoint of the previous hypotenuse to form the next right triangle. By Pythagoras, the new hypotenuse becomes \(\sqrt{n+1}\). A parallel line would not create a right angle. Exam tip: each new outer leg is 1 unit.
A. हर नए समकोण त्रिभुज में एक भुजा पिछले त्रिभुज का कर्ण और दूसरी भुजा 1 इकाई होती है/In each new right triangle, one leg is the hypotenuse of the previous triangle and the other leg is 1 unit.
Explanation
Simple Explanation
हर नया समकोण त्रिभुज पिछले कर्ण को एक भुजा और 1 इकाई को दूसरी भुजा बनाता है; इसलिए कर्ण क्रमशः \(\sqrt{2}, \sqrt{3}\) आदि होते हैं। परीक्षा में 1 इकाई वाली नई भुजा पहचानें। / Each new right triangle uses the previous hypotenuse as one leg and a unit length as the other, producing \(\sqrt{2}, \sqrt{3}\), and so on. Exam tip: identify the newly added 1-unit leg first.
C. \((\sqrt{132})^2+1^2=133\), इसलिए नया कर्ण \(\sqrt{133}\)/\((\sqrt{132})^2+1^2=133\), so the new hypotenuse is \(\sqrt{133}\)
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल के प्रत्येक नए समकोण त्रिभुज में एक भुजा पिछले कर्ण के बराबर और दूसरी भुजा \(1\) होती है। इसलिए पाइथागोरस प्रमेय से नया कर्ण \(\sqrt{(\sqrt{132})^2+1^2}=\sqrt{132+1}=\sqrt{133}\) होगा। विकल्प B में \(132\) का वर्ग लिया गया है, जबकि पिछले कर्ण \(\sqrt{132}\) का वर्ग लेना चाहिए। परीक्षा टिप: पिछले कर्ण का वर्ग हमेशा मूलांक देता है; फिर उसमें \(1\) जोड़ें। / In each new right triangle of a square root spiral, one leg is the previous hypotenuse and the other leg is \(1\). By Pythagoras’ theorem, the new hypotenuse is \(\sqrt{(\sqrt{132})^2+1^2}=\sqrt{132+1}=\sqrt{133}\). Option B incorrectly squares \(132\); it is the previous hypotenuse \(\sqrt{132}\) that must be squared. Exam tip: square the previous hypotenuse to get the radicand, then add \(1\).
