What is (\cos^2 x-\sin^2 x) equal to?(\cos^2 x-\sin^2 x) किसके बराबर है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (\cos 2x)(\cos 2x)
The direct answer is cos 2x, so option C is correct. The double-angle identity follows from the standard formulas: cos 2x=cos^2 x−sin^2 x. Thus the expression already has exactly the form of cos 2x. Option A, sin 2x, is wrong because sin 2x=2sin x cos x, not a difference of squares. Option B, tan 2x, is wrong because tangent is a ratio, tan 2x=\frac{2tan x}{1−tan^2 x}, and it is not equal to this expression in general. Option C, cos 2x, is correct. Option D, 1+sin 2x, is also not generally equal; it contains an additional 1 and a sine term. For example, at x=0 the given expression is 1, cos 0 is 1, but sin 0 and tan 0 are 0, showing why the alternatives fail. Memory cue: remember the three equivalent forms: cos 2x=cos^2 x−sin^2 x=2cos^2 x−1=1−2sin^2 x.सीधा उत्तर cos 2x है, इसलिए विकल्प C सही है। द्विकोण पहचान के अनुसार cos 2x=cos^2 x−sin^2 x। इसलिए दिया गया व्यंजक पहले से ही cos 2x के ठीक उसी रूप में है। विकल्प A का sin 2x गलत है, क्योंकि sin 2x=2sin x cos x होता है, वर्गों का अंतर नहीं। विकल्प B का tan 2x भी गलत है; tangent एक अनुपात है और tan 2x=\frac{2tan x}{1−tan^2 x} होता है, जो सामान्यतः इस व्यंजक के बराबर नहीं है। विकल्प C का cos 2x सही है। विकल्प D का 1+sin 2x भी सामान्यतः बराबर नहीं है, क्योंकि उसमें अतिरिक्त 1 और sine वाला पद है। उदाहरण के लिए x=0 लेने पर दिया गया व्यंजक 1 और cos 0 भी 1 है, जबकि sin 0 और tan 0 शून्य हैं; इससे गलत विकल्पों का अंतर स्पष्ट होता है। याद रखें: cos 2x के तीन रूप याद रखें: cos 2x=cos^2 x−sin^2 x=2cos^2 x−1=1−2sin^2 x।
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