What is the product form of (\sin x+\sin 3x)?(\sin x+\sin 3x) का गुणनफल रूप क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (2\sin 2x\cos x)(2\sin 2x\cos x)
Direct answer: option A, \(2\sin 2x\cos x\). Use the sum-to-product identity \(\sin A+\sin B=2\sin\left((A+B)/2\right)\cos\left((A-B)/2\right)\). Put \(A=x\) and \(B=3x\). Then \((A+B)/2=(x+3x)/2=2x\), while \((A-B)/2=(x-3x)/2=-x\). Since \(\cos(-x)=\cos x\), the result is \(2\sin 2x\cos x\). Option A is correct. Option B, \(2\cos 2x\sin x\), corresponds to a different arrangement and is not generally equal to the given sum. Option C, \(2\sin x\cos 3x\), does not follow the sum-to-product formula and is generally different. Option D, \(2\cos x\sin 3x\), is also not the correct transformation. A quick check is to take a small convenient value such as \(x=30^\circ\); the correct expression matches the original sum. Memory cue: for sine plus sine, use sine of the average angle times cosine of half the difference.सीधा उत्तर: विकल्प A, \(2\sin 2x\cos x\)। योग-से-गुणनफल सूत्र है \(\sin A+\sin B=2\sin\left((A+B)/2\right)\cos\left((A-B)/2\right)\)। यहाँ \(A=x\) और \(B=3x\) लें। तब \((A+B)/2=(x+3x)/2=2x\), तथा \((A-B)/2=(x-3x)/2=-x\)। क्योंकि \(\cos(-x)=\cos x\), परिणाम \(2\sin 2x\\cos x\) मिलता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B, \(2\cos 2x\sin x\), इस सूत्र में sine और cosine की भूमिकाएँ सही स्थान पर नहीं रखता और सामान्यतः बराबर नहीं है। विकल्प C, \(2\sin x\cos 3x\), दिए गए sum-to-product सूत्र से नहीं निकलता। विकल्प D, \(2\cos x\sin 3x\), भी अलग प्रकार की राशि है और मूल योग के बराबर सामान्यतः नहीं होती। छोटे कोण, जैसे \(x=30^\circ\), रखकर भी सही उत्तर की जाँच की जा सकती है। याद रखें: sine plus sine में sine of average और cosine of half-difference आता है।
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