If tan θ + cot θ = 4, what is the value of tan² θ + cot² θ?यदि tan θ + cot θ = 4 है, तो tan² θ + cot² θ का मान क्या होगा?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 1414
Direct answer: 14, so option A is correct. Let x = tan θ and y = cot θ. Since cot θ is the reciprocal of tan θ wherever both are defined, xy = tan θ · cot θ = 1. Use the identity (x + y)² = x² + y² + 2xy. Substituting the given sum, 4² = tan² θ + cot² θ + 2(1). Thus 16 = tan² θ + cot² θ + 2, and the required value is 16 − 2 = 14. Option A wins because it follows directly from the identity. Option B is 16, but it forgets the cross-term 2xy. Option C, 12, does not result from the calculation and has no supporting identity here. Option D, 10, is also an unsupported subtraction. Memory cue: when tan and cot occur together, immediately check tan θ · cot θ = 1, then expand the square carefully.सीधा उत्तर: 14, इसलिए विकल्प A सही है। मान लें x = tan θ और y = cot θ। जहाँ दोनों फलन परिभाषित हों, वहाँ cot θ, tan θ का व्युत्क्रम होता है; इसलिए xy = tan θ · cot θ = 1। अब बीजीय सर्वसमिका (x + y)² = x² + y² + 2xy का प्रयोग करें। दिए गए योग को रखने पर 4² = tan² θ + cot² θ + 2(1) मिलता है। अतः 16 = tan² θ + cot² θ + 2 और आवश्यक मान 16 − 2 = 14 है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में 4² तो लिया गया है, पर 2xy वाला क्रॉस-पद भूल गया है। विकल्प C का 12 इस सर्वसमिका से नहीं निकलता और विकल्प D का 10 भी किसी उचित गणना से प्राप्त नहीं होता। याद रखें: tan और cot साथ दिखें तो उनका गुणनफल 1 लिखें और योग के वर्ग में बीच का पद अवश्य रखें।
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