What is (\cos(2\pi-x)) equal to?(\cos(2\pi-x)) किसके बराबर है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (\cos x)(\cos x)
The direct answer is option C, cos x. Use the cosine subtraction identity: cos(A-B)=cos A cos B+sin A sin B. Take A=2π and B=x. Since cos 2π=1 and sin 2π=0, cos(2π-x)=1·cos x+0·sin x=cos x. Option A, -cos x, is wrong; that sign change occurs for cos(π-x), not this expression. Option B, sin x, is wrong because cosine does not become sine merely because an angle is subtracted. Option C works exactly. Option D, -sin x, is also wrong and confuses cosine with sine as well as introducing an unnecessary negative sign. Geometrically, subtracting x from one full revolution places the angle in the reflected position, whose cosine is the same. This identity is valid for every real x, so no quadrant restriction is needed. Memory cue: cosine is even around a full turn: cos(2π-x)=cos x.सीधा उत्तर विकल्प C, cos x है। cosine का सूत्र लें: cos(A-B)=cos A cos B+sin A sin B। यहाँ A=2π और B=x रखने पर cos(2π)=1 तथा sin(2π)=0 मिलते हैं। इसलिए cos(2π-x)=1·cos x+0·sin x=cos x। विकल्प A, -cos x, गलत है; ऐसा रूप cos(π-x) में आता है, यहाँ नहीं। विकल्प B, sin x, गलत है क्योंकि कोण घटाने से cosine अपने-आप sine नहीं बनता। विकल्प C सही है। विकल्प D, -sin x, भी गलत है क्योंकि इसमें cosine को sine समझ लिया गया है और अनावश्यक ऋण चिह्न लगाया गया है। ज्यामितीय रूप से 2π एक पूरा चक्कर है; पूरा चक्कर घटाने पर cosine का मान वही रहता है। यह पहचान प्रत्येक वास्तविक x के लिए लागू है। याद रखें: पूरे चक्कर के संदर्भ में cos(2π-x)=cos x।
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