If \(x\) is in the second quadrant and \(\sin x=\frac{7}{25}\), what is the value of \(\cos x\)?यदि \(x\) दूसरे चतुर्थांश में है और \(\sin x=\frac{7}{25}\), तो \(\cos x\) का मान क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: \(-\frac{24}{25}\)\(-\frac{24}{25}\)
The direct answer is option C, −24/25. Begin with sin²x+cos²x=1. Since sin x=7/25, cos²x=1−(7/25)²=1−49/625=576/625, so |cos x|=24/25. The second quadrant decides the sign: sine is positive there, but cosine is negative. Therefore cos x=−24/25. Option A, +24/25, has the correct magnitude but the wrong sign. Option B, −7/25, simply repeats the sine magnitude with a negative sign and does not follow from the identity. Option C has both the correct magnitude and the correct second-quadrant sign. Option D, +7/25, is the given sine value’s magnitude and is not cosine. A common mistake is to calculate the square root and forget the quadrant. Memory cue: ASTC says in quadrant II only sine is positive; cosine is negative.सीधा उत्तर विकल्प C, \(-\frac{24}{25}\) है। पहचान \(\sin^2x+\cos^2x=1\) से शुरू करें। \(\sin x=\frac{7}{25}\) रखने पर \(\cos^2x=1-\left(\frac{7}{25}\right)^2=1- rac{49}{625}= rac{576}{625}\)। इसलिए \(|\cos x|=\frac{24}{25}\)। अब दूसरा चतुर्थांश चिह्न तय करता है: वहाँ sine धनात्मक, लेकिन cosine ऋणात्मक होता है। अतः \(\cos x=-\frac{24}{25}\)। विकल्प A में परिमाण सही है, पर चिह्न गलत है। विकल्प B, \(-7/25\), cosine निकालने के बजाय दिए हुए sine के परिमाण को दोहरा देता है। विकल्प C में परिमाण और चिह्न दोनों सही हैं। विकल्प D, \(+7/25\), sine का परिमाण है, cosine नहीं। सामान्य गलती वर्गमूल लेने के बाद ऋण चिह्न भूल जाना है। याद रखें: ASTC के अनुसार दूसरे चतुर्थांश में केवल sine धनात्मक होता है; cosine ऋणात्मक होता है।
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