If (\tan x=\frac{3}{4}) and (x) is in the first quadrant, what is the value of (\sin x)?यदि (\tan x=\frac{3}{4}) और (x) प्रथम चतुर्थांश में है, तो (\sin x) का मान क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (\frac{3}{5})(\frac{3}{5})
The tangent ratio is \\(\\tan x=\\frac{\\text{opposite}}{\\text{adjacent}}=\\frac{3}{4}\\). In a right triangle, take the opposite side as 3 units and the adjacent side as 4 units. By the Pythagorean theorem, the hypotenuse is \\(\\sqrt{3^2+4^2}=\\sqrt{25}=5\\). Therefore, \\(\\sin x=\\frac{\\text{opposite}}{\\text{hypotenuse}}=\\frac{3}{5}\\). Since x is in the first quadrant, sine is positive, so option B is correct.
The first-quadrant condition removes any sign ambiguity: both sine and cosine are positive there. One may also use \\(1+\\tan^2x=\\sec^2x\\), but the 3-4-5 triangle gives the result directly. The values \\(4/5\\), \\(5/3\\), and \\(5/4\\) correspond to other ratios or are greater than 1, so they cannot be the sine value here. The supplied answer B and its explanation are correct.दिया है कि \\(\\tan x=\\frac{3}{4}\\)। स्पर्शज्या का अर्थ है \\(\\tan x=\\frac{\\text{लंब}}{\\text{आधार}}\\), इसलिए समकोण त्रिभुज में लंब 3 इकाई और आधार 4 इकाई मान सकते हैं। पाइथागोरस प्रमेय से कर्ण \\(\\sqrt{3^2+4^2}=\\sqrt{25}=5\\) होगा। अब \\(\\sin x=\\frac{\\text{लंब}}{\\text{कर्ण}}=\\frac{3}{5}\\) है। x प्रथम चतुर्थांश में है, इसलिए sine धनात्मक होगा और विकल्प B सही है।
प्रथम चतुर्थांश की शर्त चिन्ह की अस्पष्टता दूर करती है, क्योंकि वहाँ sine और cosine दोनों धनात्मक होते हैं। यही परिणाम पहचान \\(1+\\tan^2x=\\sec^2x\\) से भी निकाला जा सकता है, लेकिन 3-4-5 समकोण त्रिभुज अधिक सरल है। \\(4/5\\) दूसरा अनुपात है, जबकि \\(5/3\\) और \\(5/4\\) sine के मान नहीं हो सकते, क्योंकि sine का परिमाण 1 से अधिक नहीं होता। इसलिए दिया गया उत्तर B सही है।
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