What is (\cos(\pi+x)) equal to?(\cos(\pi+x)) किसके बराबर है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (-\cos x)(-\cos x)
The direct answer is option B, −cos x. Use the angle-addition identity: cos(a+b)=cos a cos b−sin a sin b. Put a=π and b=x. Since cos π=−1 and sin π=0, cos(π+x)=(−1)cos x−0·sin x=−cos x. Option A, cos x, misses the sign change caused by adding π. Option B is exactly the identity result. Option C, sin x, is a different trigonometric function and has the wrong size and value in general. Option D, −sin x, also uses sine instead of cosine and is therefore wrong. Thinking in quadrants can help: adding π moves a point to the opposite side of the unit circle, so its x-coordinate, cosine, changes sign. The phrase “third quadrant” is not always enough unless x’s location is specified, but the identity is valid for every real x. Exam cue: adding π reverses both sine and cosine signs.सीधा उत्तर विकल्प B, \(-\cos x\) है। कोण-योग सूत्र लगाएँ: \(\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b\)। यहाँ \(a=\pi\), \(b=x\) रखने पर \(\cos\pi=-1\) और \(\sin\pi=0\) मिलते हैं। इसलिए \(\cos(\pi+x)=(-1)\cos x-0\cdot\sin x=-\cos x\)। विकल्प A, \(\cos x\), में आवश्यक ऋण चिह्न नहीं है। विकल्प B बिल्कुल सही परिणाम है। विकल्प C, \(\sin x\), cosine की जगह sine लेता है, इसलिए सामान्यतः सही नहीं हो सकता। विकल्प D, \(-\sin x\), में भी गलत फलन है। ज्यामितीय रूप से \(\pi\) जोड़ने पर इकाई वृत्त का बिंदु विपरीत तरफ जाता है और उसका x-निर्देशांक, यानी cosine, ऋणात्मक हो जाता है। केवल “तीसरा चतुर्थांश” कहना हर x के लिए पर्याप्त नहीं, पर सूत्र हर वास्तविक x पर सही है। याद रखें: \(\pi\) जोड़ने पर sine और cosine दोनों के चिह्न बदलते हैं।
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