What is the value of \(\cosec^2 x-\cot^2 x\)?\(\cosec^2 x-\cot^2 x\) का मान क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: \(1\)\(1\)
The governing identity is cosec²x = 1 + cot²x. It follows from sin²x + cos²x = 1 by dividing every term by sin²x, wherever the expressions are defined. Subtracting cot²x from both sides gives cosec²x − cot²x = 1. Therefore option B is correct. Options A and D may simplify to 1 when their denominators are nonzero, but they are unrelated forms rather than the identity being directly applied, and they can be undefined for particular x-values. Option C is incorrect because cosec²x and cot²x are not generally equal; their difference is exactly the constant 1. The identity is valid on the common domain of the original expressions.इस प्रश्न में मूल पाइथागोरस त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cosec²x = 1 + cot²x लागू होती है। यह sin²x + cos²x = 1 को sin²x से भाग देने पर प्राप्त होती है, जहाँ संबंधित व्यंजक परिभाषित हों। अब दोनों पक्षों से cot²x घटाने पर cosec²x − cot²x = 1 मिलता है। इसलिए विकल्प B सही उत्तर है। विकल्प A और D में अंश तथा हर समान होने के कारण वे कुछ मानों पर 1 के बराबर हो सकते हैं, लेकिन वे यहाँ प्रयुक्त प्रत्यक्ष सर्वसमिका नहीं हैं और कुछ मानों पर अपरिभाषित भी हो सकते हैं। विकल्प C गलत है, क्योंकि cosec²x और cot²x सामान्यतः समान नहीं होते; उनका अंतर ठीक 1 होता है। सर्वसमिका उन सभी x-मानों पर लागू है जहाँ मूल व्यंजक परिभाषित हैं।
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