Which of the following functions is odd?निम्नलिखित में से कौन-सा फलन विषम है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: sin xsin x
The governing definition is that a function is odd when f(−x) = −f(x) for every x in its symmetric domain. For sine, sin(−x) = −sin x, so sin x is odd and option C is correct. The distractors are even functions: cos(−x) = cos x, so cos x is even. Since sec x = 1/cos x, wherever it is defined, sec(−x) = sec x, making sec x even as well. Also, cos²(−x) = [cos(−x)]² = cos²x, so cos²x is even. Thus “odd” refers to origin symmetry and the sign-change rule, not merely to whether an expression appears to contain an odd power.विषम फलन की परिभाषा है कि उसके सममित परिभाषा-क्षेत्र के प्रत्येक x के लिए f(−x) = −f(x) हो। साइन फलन के लिए sin(−x) = −sin x, इसलिए sin x विषम है और विकल्प C सही उत्तर है। अन्य विकल्प सम फलन हैं। cos(−x) = cos x होने से cos x सम है। sec x = 1/cos x होने के कारण, जहाँ यह परिभाषित है, sec(−x) = sec x; इसलिए sec x भी सम है। इसी प्रकार cos²(−x) = [cos(−x)]² = cos²x, अतः cos²x भी सम है। यहाँ “विषम” का अर्थ मूल बिंदु के परितः सममिति और चिह्न बदलने की शर्त है, केवल सूत्र में किसी विषम घात का दिखाई देना नहीं।
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