On A = {1, 2, 3}, how many symmetric relations do not contain (1,1)?समुच्चय A = {1, 2, 3} पर कितने सममित संबंध ऐसे हैं जिनमें (1,1) नहीं है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 2⁵2⁵
On a three-element set, a symmetric relation has 3 diagonal choices and 3 unordered off-diagonal choices, for a total of 6 independent binary choices. The condition that (1,1) is absent fixes one diagonal choice: it must be excluded rather than chosen. The remaining diagonal pairs (2,2) and (3,3), together with the three off-diagonal pair groups, remain independently selectable. Thus five binary choices remain, giving 2⁵ symmetric relations. Option A is correct; 2⁶ would allow (1,1), while the smaller powers omit valid choices.तीन तत्वों वाले समुच्चय पर सममित संबंध में कुल 6 स्वतंत्र चुनाव होते हैं: 3 विकर्ण युग्म और 3 अव्यवस्थित गैर-विकर्ण युग्म। शर्त (1,1) को संबंध में न रखने पर एक विकर्ण चुनाव पहले से निश्चित होकर ‘नहीं’ हो जाता है। अब (2,2), (3,3) और तीनों गैर-विकर्ण युग्म-समूह स्वतंत्र रूप से लिए या छोड़े जा सकते हैं। इसलिए 5 स्वतंत्र द्विआधारी चुनाव बचते हैं और संबंधों की संख्या 2⁵ है। अतः विकल्प A सही है।
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