For a set A with n elements, how many unordered pair-positions must be chosen to specify a symmetric relation?n तत्वों वाले A पर सममित संबंध निर्धारित करने के लिए कितने अव्यवस्थित युग्म-स्थान चुने जाते हैं?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: n(n+1)/2n(n+1)/2
Direct answer: A, n(n+1)/2. To specify a symmetric relation, treat each diagonal pair (a,a) as one position; there are n of these. For two distinct elements a and b, symmetry links (a,b) with (b,a), so the two ordered pairs form one unordered decision-position. The number of such distinct-element pairs is n(n−1)/2. Adding the diagonal positions gives n+n(n−1)/2 = [2n+n²−n]/2 = n(n+1)/2. Option C counts only the off-diagonal positions and forgets the n diagonal choices. Option B counts all ordered positions without identifying opposite pairs. Option D counts only diagonal positions. Memory cue: symmetric positions = diagonal positions + one position for every pair of distinct elements.सीधा उत्तर: A, अर्थात n(n+1)/2। सममित संबंध निर्धारित करते समय प्रत्येक विकर्ण युग्म (a,a) एक स्वतंत्र स्थान देता है; ऐसे स्थान n होते हैं। दो अलग तत्वों a और b के लिए सममिति के कारण (a,b) और (b,a) को अलग-अलग नहीं चुना जा सकता—दोनों साथ लिए जाएँगे या दोनों छोड़े जाएँगे। ऐसे अलग तत्वों वाले अव्यवस्थित युग्मों की संख्या n(n−1)/2 है। इसलिए कुल स्वतंत्र स्थान n+n(n−1)/2 = n(n+1)/2 होंगे। विकल्प C केवल अविकर्ण स्थान गिनता है और विकर्ण स्थान छोड़ देता है। विकल्प B सभी n² क्रमित स्थानों को स्वतंत्र मानता है, जो सममिति के विरुद्ध है। विकल्प D केवल विकर्ण स्थानों की संख्या है। स्मरण सूत्र: सममित संबंध के स्वतंत्र स्थान = विकर्ण स्थान + अलग-अलग तत्वों की एक-एक जोड़ी।
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