If R is symmetric, which statement about A×A−R is correct?यदि R सममित है, तो A×A−R के बारे में कौन-सा कथन सही है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: It will also be symmetricयह भी सममित होगा
Let S=(A×A)−R be the complement of R in A×A. To test symmetry, assume (a,b)∈S, so (a,b)∉R. If (b,a) were in R, then symmetry of R would imply (a,b)∈R, contradicting the assumption. Therefore (b,a)∉R and hence (b,a)∈S. Thus S is symmetric. The complement need not be empty or diagonal-only, and it can be symmetric even when R is neither universal nor empty.मान लें S=(A×A)−R, अर्थात S में वे सभी युग्म हैं जो R में नहीं हैं। यदि (a,b)∈S है, तो (a,b)∉R। अब यदि (b,a) R में होता, तो R की सममितता के कारण (a,b) भी R में होना चाहिए था, जो विरोधाभास है। इसलिए (b,a) भी R में नहीं है और फलतः S में है। अतः S सममित है। इसका रिक्त या केवल विकर्ण युग्मों वाला होना आवश्यक नहीं है; ये विशेष स्थितियाँ R पर निर्भर करती हैं।
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