For any relation R, which statement about R ∪ R⁻¹ is always true?किसी भी संबंध R के लिए R ∪ R⁻¹ के बारे में कौन-सा कथन हमेशा सही है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: It is symmetricयह सममित होता है
The governing idea is symmetric closure. The inverse relation R⁻¹ contains the reverse pair for every pair in R. Let S = R ∪ R⁻¹. If (a,b) belongs to S, then either (a,b) belongs to R or it belongs to R⁻¹. In the first case, (b,a) belongs to R⁻¹; in the second case, (b,a) belongs to R. Thus in both cases the reverse pair belongs to S, proving that S is symmetric. The union need not be reflexive because R may contain no self-pairs, and it need not be empty. Since the union of two relations on the same sets is itself a relation, option D is also false. Hence A is always true.यह प्रश्न सममित परिबंध या symmetric closure की धारणा पर आधारित है। R⁻¹ में R के प्रत्येक युग्म का उलटा युग्म उपस्थित होता है। S = R ∪ R⁻¹ मानें। यदि (a,b), S में है, तो या तो वह R में है या R⁻¹ में। पहले मामले में (b,a), R⁻¹ में होगा और दूसरे मामले में (b,a), R में होगा। दोनों स्थितियों में उलटा युग्म S में अवश्य है; इसलिए S सममित है। लेकिन S में सभी (a,a) युग्म होना आवश्यक नहीं, इसलिए वह हमेशा परावर्ती नहीं है। वह हमेशा रिक्त भी नहीं होता और दो संबंधों का संघ स्वयं एक संबंध होता है। अतः सही विकल्प A है।
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