Why is the empty relation ∅ considered symmetric on any set A?रिक्त संबंध ∅ किसी भी समुच्चय A पर सममित क्यों माना जाता है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: Because it has no pair that can violate the conditionक्योंकि इसमें ऐसा कोई युग्म नहीं है जो नियम तोड़े
A relation is symmetric if, for every pair (a,b) in the relation, the reverse pair (b,a) is also in it. The empty relation contains no ordered pairs at all. Consequently, there is no pair (a,b) that could serve as a counterexample with its reverse missing; the universal condition is therefore satisfied vacuously. Hence ∅ is symmetric on every set. It is not reflexive when A is non-empty, because reflexivity would require all pairs (a,a), and it is certainly not universal or a diagonal-only relation.सममितता का अर्थ है कि संबंध में उपस्थित प्रत्येक युग्म (a,b) के साथ उल्टा युग्म (b,a) भी उपस्थित हो। रिक्त संबंध में एक भी क्रमित युग्म नहीं होता। इसलिए ऐसा कोई युग्म मिल ही नहीं सकता जो सममितता की शर्त का उल्लंघन करे; गणितीय तर्क में इसे शून्य-घटना के कारण स्वतः सत्य माना जाता है। अतः ∅ प्रत्येक समुच्चय पर सममित है। लेकिन गैर-रिक्त A पर यह प्रतिवर्ती नहीं है, क्योंकि प्रतिवर्तिता के लिए प्रत्येक (a,a) आवश्यक होता है।
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