If A has n elements, how many symmetric relations on A contain no diagonal pair (a,a)?यदि A में n अवयव हैं, तो A पर कितने सममित संबंधों में कोई भी विकर्ण युग्म (a,a) उपस्थित नहीं होगा?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 2^(n(n−1)/2)2^(n(n−1)/2)
Direct answer: A. A symmetric relation must include (a,b) and (b,a) together, or exclude them together, whenever a and b are distinct. The number of unordered pairs of distinct elements is C(n,2)=n(n−1)/2. Because all diagonal pairs (a,a) are forbidden, there are no choices for them. Each of the C(n,2) off-diagonal pair-positions has two independent choices: include both directions or include neither. Therefore the number of relations is 2^[n(n−1)/2]. Option B incorrectly includes n diagonal positions as choices, even though they are forbidden. Option C treats all n² ordered pairs as independent, ignoring symmetry. Option D gives the number of positions, not the number of possible selections. Memory cue: symmetry ties two opposite arrows into one decision; forbidden diagonals contribute zero decisions.सीधा उत्तर: A। सममित संबंध में दो अलग तत्वों a और b के लिए (a,b) तथा (b,a) को साथ लेना पड़ता है या दोनों को साथ छोड़ना पड़ता है। अलग-अलग तत्वों के अव्यवस्थित युग्मों की संख्या C(n,2)=n(n−1)/2 है। सभी विकर्ण युग्म (a,a) निषिद्ध हैं, इसलिए उनके बारे में कोई विकल्प नहीं है। प्रत्येक अव्यवस्थित युग्म के लिए दो स्वतंत्र चुनाव हैं: दोनों दिशाओं के युग्म शामिल करें या दोनों को छोड़ दें। अतः कुल संबंधों की संख्या 2^[n(n−1)/2] होगी। विकल्प B विकर्ण स्थानों को भी चुनाव मानता है, जबकि वे निषिद्ध हैं। विकल्प C सभी n² क्रमित युग्मों को स्वतंत्र मानता है, जो सममितता के कारण गलत है। विकल्प D केवल स्वतंत्र स्थानों की संख्या है, संबंधों की संख्या नहीं। स्मरण सूत्र: सममिति विपरीत दिशाओं को एक ही निर्णय बना देती है; निषिद्ध विकर्ण कोई निर्णय नहीं जोड़ते।
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