If R is symmetric, which statement about R⁻¹ is correct?यदि R सममित है, तो R⁻¹ के बारे में सही कथन कौन-सा है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: R⁻¹ = RR⁻¹ = R
The governing concept is the inverse of a relation. If R is a relation from A to A, then R⁻¹ consists of all pairs (b,a) for which (a,b) belongs to R. Symmetry says precisely that whenever (a,b) is in R, its reverse (b,a) is also in R. Thus every pair placed in R⁻¹ is already in R, giving R⁻¹ ⊆ R. Applying the same argument to the reverse direction, or simply reversing the equality, gives R ⊆ R⁻¹ as well. Therefore R⁻¹ = R. The inverse need not be empty, universal, or a proper subset; those descriptions depend on the particular relation.यह प्रश्न संबंध के प्रतिलोम की अवधारणा पर आधारित है। यदि R, A से A का संबंध है, तो R⁻¹ में वे सभी युग्म (b,a) होते हैं जिनके लिए (a,b), R में है। सममितता का अर्थ ही यह है कि R में किसी भी (a,b) के साथ उसका उलटा (b,a) भी उपस्थित हो। इसलिए R⁻¹ का प्रत्येक युग्म R में भी मिलता है, अर्थात R⁻¹ ⊆ R। इसी तर्क को उलटी दिशा में लागू करने पर R ⊆ R⁻¹ प्राप्त होता है। दोनों समावेशों से R⁻¹ = R निष्कर्ष निकलता है। प्रतिलोम संबंध हमेशा रिक्त, सार्वत्रिक या उचित उपसमुच्चय नहीं होता; यह दिए गए संबंध पर निर्भर करता है। अतः सही विकल्प A है।
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