If R is symmetric, which statement about R⁻¹ is correct?यदि R सममित है, तो R⁻¹ के बारे में सही कथन कौन-सा है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: R⁻¹ = RR⁻¹ = R
The inverse relation R⁻¹ is formed by reversing every ordered pair: (a, b) ∈ R⁻¹ exactly when (b, a) ∈ R. If R is symmetric, the presence of (b, a) in R guarantees the presence of (a, b) in R, so reversing all pairs produces no new relation; every pair of R⁻¹ is already in R. The same reasoning in reverse gives R ⊆ R⁻¹, hence R⁻¹ = R. Symmetry does not imply emptiness, so options B and C are false, while D states the opposite. Therefore A is correct.प्रतिलोम संबंध R⁻¹ में प्रत्येक क्रमित युग्म उलट दिया जाता है: (a, b) ∈ R⁻¹ तभी होता है जब (b, a) ∈ R हो। यदि R सममित है, तो R में (b, a) की उपस्थिति से (a, b) की उपस्थिति भी निश्चित होती है। इसलिए सभी युग्म उलटने पर कोई नया संबंध नहीं बनता और R⁻¹ का प्रत्येक युग्म पहले से R में रहता है। इसी तर्क से R का प्रत्येक युग्म R⁻¹ में भी रहता है; अतः R⁻¹ = R। सममितता से रिक्तता सिद्ध नहीं होती, इसलिए B और C गलत हैं तथा D इसका विपरीत कहता है।
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