For a five-element set A, how many symmetric relations on A contain no diagonal ordered pair (a,a)?पाँच तत्वों वाले समुच्चय A पर ऐसे कितने सममित संबंध होंगे जिनमें कोई भी विकर्ण युग्म (a,a) सम्मिलित न हो?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 2^102^10
Correct answer: B, 2^10. A symmetric relation must include an off-diagonal pair and its reverse together, or omit both. The diagonal pairs are forbidden in this question, so they provide no choices and must not be counted. The only available decisions concern unordered pairs of distinct elements. For five elements, their number is C(5,2)=5×4/2=10. Each of these ten pairs has two choices: include both corresponding ordered pairs or include neither. Therefore the total is 2^10. Option A, 2^5, counts the five elements rather than the ten unordered pairs. Option B correctly counts the independent choices. Option C incorrectly adds an extra factor related to diagonal or directional pairs. Option D overcounts by treating more choices as independent than symmetry permits. A helpful memory cue is that forbidding all diagonal pairs removes the n diagonal decisions; for symmetric relations on n elements, the remaining count is 2^{C(n,2)}.सही उत्तर: B, 2^10। सममित संबंध में किसी अलग-अलग अवयवों के युग्म (a,b) के साथ उसका उलटा (b,a) भी लेना पड़ता है, या दोनों को छोड़ना पड़ता है। इस प्रश्न में सभी विकर्ण युग्म निषिद्ध हैं, इसलिए वे कोई विकल्प नहीं देते और उन्हें गिनना नहीं चाहिए। अब केवल अलग-अलग अवयवों वाले अव्यवस्थित युग्मों पर निर्णय लेना है। पाँच तत्वों के ऐसे युग्मों की संख्या C(5,2)=5×4/2=10 है। प्रत्येक युग्म के लिए दो विकल्प हैं: उससे जुड़े दोनों क्रमित युग्मों को लेना या दोनों को छोड़ना। इसलिए कुल संख्या 2^10 होगी। विकल्प A, 2^5, पाँच तत्वों को गिनता है, जबकि वास्तविक स्वतंत्र चुनाव दस अव्यवस्थित युग्मों के हैं। विकल्प B सही है। विकल्प C विकर्ण या दिशाओं को गलत ढंग से अतिरिक्त स्वतंत्र विकल्प मानता है। विकल्प D भी सममितता के कारण प्रतिबंधित चुनावों को स्वतंत्र मानकर अधिक गिनता है। याद रखें: n तत्वों पर सभी विकर्ण हटाकर सममित संबंधों की संख्या 2^{C(n,2)} होती है।
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