Let A={1,2,3}. If a symmetric relation R on A must contain (1,2), how many such relations are possible?मान लीजिए A={1,2,3}। यदि A पर एक सममित संबंध R में (1,2) अवश्य सम्मिलित है, तो ऐसे कितने संबंध संभव हैं?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 3232
Answer: B, 32. In a symmetric relation, whenever (a,b) is present, (b,a) must also be present. Since (1,2) is required, (2,1) is forced as well; these two pairs together represent one fixed off-diagonal choice. The remaining independent choices are the three diagonal pairs (1,1), (2,2), (3,3), and the two off-diagonal pair-groups represented by (1,3),(3,1) and (2,3),(3,2). Thus there are 5 independent binary choices, giving 2^5=32 relations. Option A counts only four choices, C counts six, and D counts seven; each incorrectly treats the forced reverse pair or another linked pair as independent. Memory cue: under symmetry, count unordered pairs, not separate directions.उत्तर: B, 32। सममित संबंध में यदि (a,b) उपस्थित है, तो (b,a) भी उपस्थित होना चाहिए। यहाँ (1,2) दिया हुआ है, इसलिए (2,1) भी अनिवार्य है; इन दोनों को एक ही निश्चित विकल्प माना जाएगा। अब स्वतंत्र विकल्प हैं—तीन विकर्ण युग्म (1,1), (2,2), (3,3), तथा दो गैर-विकर्ण युग्म-समूह: (1,3) और (3,1) का समूह, तथा (2,3) और (3,2) का समूह। इस प्रकार कुल 5 स्वतंत्र द्विविकल्पी चुनाव हैं और संबंधों की संख्या 2^5=32 होगी। विकल्प A चार चुनाव गिनता है, C छह और D सात, इसलिए वे किसी युग्म को गलत ढंग से स्वतंत्र मानते हैं। याद रखें: सममित संबंधों की गिनती में उल्टी दिशाओं को अलग-अलग नहीं, बल्कि एक साथ गिनना चाहिए।
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