For a reflexive relation on an n-element set A, how many ordered pairs are necessarily present before any optional pairs are added?n तत्वों वाले समुच्चय A पर परावर्ती संबंध में, वैकल्पिक युग्म जोड़ने से पहले कितने क्रमित युग्म अनिवार्य रूप से उपस्थित होते हैं?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: nn
Direct answer: A, n. Let A={a1,a2,...,an}. Reflexivity means every element is related to itself, so the compulsory pairs are (a1,a1), (a2,a2), ..., (an,an). There is one such diagonal pair for each of the n elements, hence exactly n required pairs. The remaining n(n−1) off-diagonal pairs may be included or omitted independently. Option B, n², counts every possible ordered position in A×A, not only the compulsory ones. Option C counts off-diagonal positions, which are optional rather than required. Option D is an exponential count and does not count the required diagonal pairs. Memory cue: “reflexive = all self-pairs”; count the elements, not all pair positions.सीधा उत्तर: A, अर्थात n। मान लें A={a1,a2,...,an}। परावर्तिता का अर्थ है कि प्रत्येक तत्व स्वयं से संबंधित हो। इसलिए अनिवार्य युग्म (a1,a1), (a2,a2), ..., (an,an) होंगे। प्रत्येक तत्व एक विकर्ण युग्म देता है, अतः ऐसे अनिवार्य युग्मों की संख्या n है। बाकी n(n−1) अविकर्ण युग्म लिए भी जा सकते हैं और छोड़े भी जा सकते हैं; वे अनिवार्य नहीं हैं। विकल्प B, n², A×A में सभी संभावित क्रमित युग्मों की संख्या है। विकल्प C केवल अलग-अलग तत्वों वाले अविकर्ण स्थानों की संख्या बताता है। विकल्प D घातीय संख्या है और अनिवार्य युग्मों को नहीं गिनता। स्मरण सूत्र: परावर्ती संबंध में “हर तत्व स्वयं से” जुड़ा होता है, इसलिए विकर्ण युग्मों की संख्या सीधे तत्वों की संख्या के बराबर होती है।
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