On A={1,2}, how many relations are not reflexive?A={1,2} पर कितने संबंध परावर्ती नहीं होते हैं?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 1212
Direct answer: C, 12. A relation on A is any subset of A×A. Since A has two elements, A×A has four ordered pairs: (1,1), (1,2), (2,1), and (2,2). Each pair may independently be included or excluded, so the total number of relations is 2^4=16. A relation is reflexive only if it contains every diagonal pair, namely (1,1) and (2,2). These two pairs are fixed as present, while the other two pairs can be chosen freely, giving 2^2=4 reflexive relations. Hence non-reflexive relations =16−4=12. Option A is the number of reflexive relations, not the requested complement. B has no valid counting basis. D is the total number of all relations, not the number that fail reflexivity. Memory cue: for an n-element set, total relations are 2^(n²), while reflexive ones are 2^(n²−n).सीधा उत्तर: C, अर्थात 12। A पर संबंध, A×A के उपसमुच्चय होते हैं। A में दो तत्व हैं, इसलिए A×A में चार क्रमित युग्म हैं: (1,1), (1,2), (2,1) और (2,2)। प्रत्येक युग्म को स्वतंत्र रूप से लिया या छोड़ा जा सकता है, इसलिए कुल संबंधों की संख्या 2^4=16 है। परावर्ती संबंध में दोनों विकर्ण युग्म (1,1) और (2,2) अवश्य होने चाहिए। बाकी दो युग्मों के लिए दो-दो विकल्प हैं, इसलिए परावर्ती संबंधों की संख्या 2^2=4 है। अतः जो संबंध परावर्ती नहीं हैं उनकी संख्या 16−4=12 होगी। विकल्प A वास्तव में परावर्ती संबंधों की संख्या है, इसलिए वह उत्तर नहीं है। विकल्प D सभी संबंधों की कुल संख्या बताता है। स्मरण रखें: n तत्वों पर कुल संबंध 2^(n²) और परावर्ती संबंध 2^(n²−n) होते हैं।
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