If R is the empty relation on a non-empty set A, what is R∘R?यदि अरिक्त समुच्चय A पर R रिक्त संबंध है, तो R∘R क्या होगा?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: The empty relationThe empty relation
The correct answer is A, the empty relation. By definition, (x,z) belongs to R∘R only when there exists an intermediate element y such that (x,y)∈R and (y,z)∈R. Since R is empty, it contains no first pair and no second pair. Thus no intermediate y can satisfy both conditions, and no ordered pair can enter the composition. Therefore R∘R=∅. B and D are incorrect because diagonal pairs require pairs such as (x,x) to be available in R, but none are. C is incorrect because the universal relation contains every possible pair, whereas the composition contains none. The fact that A is non-empty does not change the result; it only means there are elements available in A, not that the empty relation contains pairs. Memory cue: composition needs a two-link path, and an empty relation has no link at all.सही उत्तर A, अर्थात रिक्त संबंध है। संबंधों की रचना में (x,z) तभी R∘R में आता है जब कोई मध्यवर्ती तत्व y ऐसा हो कि (x,y)∈R और (y,z)∈R दोनों सत्य हों। लेकिन R रिक्त है, इसलिए उसमें पहला युग्म भी नहीं है और दूसरा युग्म भी नहीं। इस कारण कोई y दोनों शर्तें पूरी नहीं कर सकता और कोई भी क्रमित युग्म रचना में शामिल नहीं होगा। अतः R∘R=∅। B और D गलत हैं, क्योंकि विकर्ण युग्मों के लिए R में (x,x) जैसे युग्म होने चाहिए, जबकि R में एक भी युग्म नहीं है। C गलत है, क्योंकि सार्वत्रिक संबंध A×A में सभी युग्म होते हैं, जबकि यहाँ कोई युग्म नहीं बनता। A का अरिक्त होना परिणाम नहीं बदलता; इससे केवल यह पता चलता है कि A में तत्व हैं, R में युग्म नहीं। याद रखें: रचना के लिए दो कड़ियों वाला मार्ग चाहिए, और रिक्त संबंध में एक भी कड़ी नहीं होती।
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