If R is an equivalence relation on a set A, which statement about its equivalence classes is correct?यदि R किसी समुच्चय A पर तुल्य संबंध है, तो उसके तुल्यता वर्गों के बारे में कौन-सा कथन सही है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: They form a partition of Aवे A का विभाजन बनाते हैं
For an equivalence relation R, the equivalence class of an element a is [a] = {x in A : xRa}. Reflexivity ensures that a belongs to [a], so every class is non-empty and all elements of A are covered. If two classes have even one common element, symmetry and transitivity show that their representatives are related, so the two classes are actually identical. Thus distinct classes are disjoint, while their union is A. These are precisely the defining features of a partition of A. Therefore option A is correct. Classes need not be singletons; for example, congruence modulo 2 gives classes of several elements. They are not empty, and distinct classes do not overlap.तुल्य संबंध R के अंतर्गत a का तुल्यता वर्ग [a] = {x ∈ A : xRa} होता है। स्वतुल्यता के कारण aRa सत्य है, इसलिए a स्वयं [a] में रहता है; इस प्रकार प्रत्येक तुल्यता वर्ग अरिक्त होता है और A का प्रत्येक अवयव किसी न किसी वर्ग में आता है। यदि दो तुल्यता वर्गों में कोई एक अवयव समान हो, तो सममितता और संक्रमकता के उपयोग से उनके प्रतिनिधि भी एक-दूसरे से संबंधित सिद्ध होते हैं। तब दोनों वर्ग वास्तव में समान होते हैं। इसलिए भिन्न तुल्यता वर्ग परस्पर असंयुक्त रहते हैं और सभी वर्गों का संघ A होता है। अरिक्त, परस्पर असंयुक्त वर्गों का A को पूरा ढकना ही A का विभाजन है। अतः विकल्प A सही है; वर्ग हमेशा singleton नहीं होते, न ही रिक्त होते हैं।
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