On A = {1,2,3,4}, let R = {(a,b) : a^2 = b^2}. What type of relation is R?A = {1,2,3,4} पर R = {(a,b) : a^2 = b^2} दिया गया है। R किस प्रकार का संबंध है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: Equivalence relationतुल्य संबंध
Because every element of A is positive, the equation a^2 = b^2 implies a = b; the alternative a = −b cannot occur within this set for two positive elements. Hence R is exactly {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}, the identity relation on A. It is reflexive because every (a,a) is included, symmetric because (a,b) implies a=b and therefore b=a, and transitive because a=b and b=c imply a=c. A relation that is reflexive, symmetric, and transitive is an equivalence relation, so option A is correct. Option B is incomplete, option C ignores the other properties, and option D is false.A के सभी अवयव धनात्मक हैं। इसलिए a^2 = b^2 से |a| = |b| और इस विशेष समुच्चय में सीधे a = b प्राप्त होता है; a = −b वाला दूसरा संभव मामला दो धनात्मक अवयवों के लिए नहीं आता। अतः R = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)} है, अर्थात A पर पहचान संबंध। इसमें प्रत्येक (a,a) मौजूद है, इसलिए यह स्वतुल्य है। यदि (a,b) संबंध में है, तो a=b और इसलिए b=a, अतः यह सममित भी है। इसी प्रकार a=b तथा b=c होने पर a=c, इसलिए यह संक्रमक है। स्वतुल्य, सममित और संक्रमक संबंध को तुल्य संबंध कहते हैं। इसलिए विकल्प A सही है; B और C अधूरे हैं तथा D गलत है।
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