On A = {1,2,3,4,5}, R = {(1,2), (2,3), (4,5)}. How many ordered pairs are in the smallest equivalence relation containing R?A = {1,2,3,4,5} पर R = {(1,2), (2,3), (4,5)} है। R को समाहित करने वाले सबसे छोटे समतुल्यता संबंध में कितने क्रमित युग्म होंगे?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 1313
The smallest equivalence relation containing R must be reflexive, symmetric, and transitive. The pairs (1,2) and (2,3), together with these three properties, place 1, 2, and 3 in one equivalence class. Once a class has three elements, it must contain every ordered pair among them, contributing 3² = 9 pairs, including diagonal and reverse pairs. The pair (4,5) creates a separate class {4,5}, which contributes 2² = 4 pairs. Element groups cannot be connected without adding unnecessary pairs, so the two classes remain separate in the smallest relation. Hence the total is 9 + 4 = 13, making option C correct. The values 9 and 11 omit required pairs, while 25 treats all five elements as one class and is not minimal.R को समाहित करने वाला सबसे छोटा समतुल्यता संबंध प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी होना चाहिए। (1,2) तथा (2,3) के कारण 1, 2 और 3 एक ही समतुल्यता वर्ग में आ जाते हैं। तीन अवयवों वाले वर्ग में प्रत्येक अवयव से उसी वर्ग के प्रत्येक अवयव तक युग्म शामिल होना चाहिए; इसलिए इस वर्ग का योगदान 3² = 9 है, जिसमें (a,a) और उलटे क्रम वाले युग्म भी आते हैं। (4,5) दूसरा वर्ग {4,5} बनाता है, जिसका योगदान 2² = 4 है। दोनों वर्गों को जोड़ने वाला कोई युग्म आवश्यक नहीं है, क्योंकि उससे संबंध न्यूनतम नहीं रहेगा। अतः कुल 9 + 4 = 13 युग्म हैं और विकल्प C सही है। 9 तथा 11 कुछ अनिवार्य युग्म छोड़ते हैं, जबकि 25 सभी पाँचों को एक वर्ग मानता है।
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