On the real numbers, define aRb if and only if |a|=|b|. What is the equivalence class of -3?वास्तविक संख्याओं पर aRb तभी है जब |a|=|b|। -3 का तुल्यता वर्ग क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: {-3,3}{-3,3}
The correct answer is C, {-3,3}. The equivalence class of -3 contains every real number x such that xR(-3), which means |x|=|-3|=3. Solving |x|=3 gives two possibilities: x=3 or x=-3. Thus [-3]={-3,3}. A is incomplete because -3 and 3 have the same absolute value. B is also incomplete because -3 itself belongs to its class. D is false because most real numbers do not have absolute value 3; for example, |0|=0 and |5|=5. The relation is an equivalence relation: absolute-value equality is reflexive, symmetric, and transitive because equality itself has these properties. Memory cue: an absolute value forgets the sign, so nonzero values usually occur in opposite-sign pairs in the same class; zero is the only value whose class has one element.सही उत्तर C, {-3,3} है। -3 का तुल्यता वर्ग उन सभी वास्तविक संख्याओं x का समुच्चय है जिनके लिए xR(-3) हो, अर्थात |x|=|-3|=3। समीकरण |x|=3 के दो हल हैं: x=3 और x=-3। इसलिए [-3]={-3,3}। A अधूरा है क्योंकि 3 का परम मान भी 3 है। B भी अधूरा है क्योंकि -3 स्वयं अपने वर्ग में अवश्य होता है। D गलत है, क्योंकि प्रत्येक वास्तविक संख्या का परम मान 3 नहीं होता; जैसे |0|=0 और |5|=5। यह संबंध तुल्यता संबंध है, क्योंकि समान परम मान की शर्त परावर्ती, सममित और संक्रामक होती है। याद रखने का संकेत है कि परम मान संख्या का चिह्न भूल जाता है; इसलिए किसी गैर-शून्य संख्या के वर्ग में सामान्यतः वह संख्या और उसका विपरीत चिह्न वाला मान आते हैं। केवल शून्य का वर्ग एक-तत्वीय होता है।
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